Determine a transformação linear T: R^3 R^3 cuja matriz é S nas bases beta=(-1,0,1),(1,1,0), (0,0,5) de R^3 e beta^prime=(1,1,0),(0,0,-5),(4,0,-1) de R^3
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz de uma transformação linear T:R^3toR^3 em bases não canônicas. Mais precisamente, em beta=v1,v2,v3 com
v1 = (-1,0,1), v2=(1,1,0), v3=(0,0,5)
e em beta'=w1,w2,w3 com
w1=(1,1,0), w2=(0,0,-5), w3=(4,0,-1),
a matriz de T é
[S]beta'^beta= 3 & 0 & -2 -3& 3 & 0 5 & 0 & 2
Queremos achar a fórmula de T no sistema de coordenadas canônicas (x,y,z).
Passo 2
Cada coluna j de [S]beta'^beta são as coordenadas de T(vj) na base beta'. Em outras palavras, se [S]beta'^beta=(sij), então
T(vj)=sumi=1^3sij,wi
Passo 3
Calculamos T nos vetores de beta.
Para v1 (coluna 1= (3,-3,5)): T(v1)=3,w1-3,w2+5,w3 =3(1,1,0)-3(0,0,-5)+5(4,0,-1) =(23,3,10)
Para v2 (coluna 2= (0,3,0)): T(v2)=0cdot w1+3,w2+0cdot w3 =3(0,0,-5) =(0,0,-15)
Para v3 (coluna 3= (-2,0,2)): T(v3)=-2,w1+0cdot w2+2,w3 =-2(1,1,0)+2(4,0,-1) =(6,-2,-2)