Considere a matriz:
[S]beta^prime^beta=[rrr 3 & 0 & -2 -3 & 3 & 0 5 & 0 & 2 ]
Determine a transformação linear T: R^3 R^3 cuja matriz é S nas bases beta=(-1,0,1),(1,1,0), (0,0,5) de R^3 e beta^prime=(1,1,0),(0,0,-5),(4,0,-1) de R^3

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de uma transformação linear T:R^3toR^3 em bases não canônicas. Mais precisamente, em beta=v1,v2,v3 com
v1 = (-1,0,1), v2=(1,1,0), v3=(0,0,5)
e em beta'=w1,w2,w3 com
w1=(1,1,0), w2=(0,0,-5), w3=(4,0,-1),
a matriz de T é
[S]beta'^beta= 3 & 0 & -2 -3& 3 & 0 5 & 0 & 2
Queremos achar a fórmula de T no sistema de coordenadas canônicas (x,y,z).

Passo 2

Cada coluna j de [S]beta'^beta são as coordenadas de T(vj) na base beta'. Em outras palavras, se [S]beta'^beta=(sij), então
T(vj)=sumi=1^3sij,wi

Passo 3

Calculamos T nos vetores de beta.
  • Para v1 (coluna 1= (3,-3,5)): T(v1)=3,w1-3,w2+5,w3 =3(1,1,0)-3(0,0,-5)+5(4,0,-1) =(23,3,10)
  • Para v2 (coluna 2= (0,3,0)): T(v2)=0cdot w1+3,w2+0cdot w3 =3(0,0,-5) =(0,0,-15)
  • Para v3 (coluna 3= (-2,0,2)): T(v3)=-2,w1+0cdot w2+2,w3 =-2(1,1,0)+2(4,0,-1) =(6,-2,-2)

Passo 4

Para um vetor genérico (x,y,z) escrevemos
(x,y,z)=alpha1,v1+alpha2,v2+alpha3,v3 =alpha1(-1,0,1)+alpha2(1,1,0)+alpha3(0,0,5)
Isso dá o sistema
x=-alpha1+alpha2, y=; alpha2, z=alpha1+5alpha3
Daí
alpha2=y, alpha1=y-x, alpha3=z-alpha15=z-(y-x)5=x-y+z5

Passo 5

Como T é linear,
T(x,y,z) =alpha1,T(v1)+alpha2,T(v2)+alpha3,T(v3)
Substituindo alpha1,alpha2,alpha3 e os valores de T(vj) e simplificando, obtemos
T(x,y,z) =l(-109x+109y+6z5,;-17x+17y-2z5,;-52x-23y-2z5r)

Resposta

A transformação linear é
T:R^3toR^3, T(x,y,z) =l(-109x+109y+6z5,;-17x+17y-2z5,;-52x-23y-2z5r)

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