Considere a transformação linear T: R^4 R^3 dada por:
T(x, y, z, t)=(-x, y-z, 4 x-t)
Determine uma base do núcleo de T.

Passo 1

O enunciado pede o núcleo de Tcolon R^4toR^3 definida por
T(x,y,z,t)=(-x,;y-z,;4x-t)
Para encontrar o núcleo, precisamos resolver o sistema linear T(x,y,z,t)=(0,0,0).

Passo 2

Escrevendo as coordenadas igual a zero, obtemos o sistema
-x = 0, y - z = 0, 4x - t = 0

Passo 3

Da primeira equação vem
x = 0
Da segunda equação vem
y = z
Da terceira equação, como x=0, obtemos
t = 4x = 0

Passo 4

Sobram a variável livre z. Chamando z = s, temos
(x,y,z,t) = (0,;s,;s,;0) = s,(0,1,1,0)
Logo o núcleo é o conjunto de todos os múltiplos de (0,1,1,0).

Resposta

Uma base de ker(T) é
(0,1,1,0)

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