Considere a transformação linear T: R^4 R^3 dada por:
T(x, y, z, t)=(-x, y-z, 4 x-t)
Qual a dimensão da imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear TcolonR^4toR^3 definida por
T(x,y,z,t)=(-x,;y-z,;4x-t)
Queremos encontrar dim(Im,T). Sabendo que a dimensão da imagem de T é o posto da matriz representativa de T na base canônica, vamos computar esse posto.

Passo 2

Para escrever a matriz de T em relação às bases canônicas de R^4 e R^3, observamos como T age nos vetores canônicos de R^4. Logo, a matriz é
A = -1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 0 4 & 0 & 0 & -1

Passo 3

O posto de A é o número máximo de colunas linearmente independentes. Chamando as colunas de C1,C2,C3,C4, temos
C1 = (-1,0,4)^T,
C2 = (0,1,0)^T,
C3 = (0,-1,0)^T = -C2,
C4 = (0,0,-1)^T.
Logo, C3 depende de C2, mas C1, C2 e C4 são independentes. Portanto
rank(A)=3

Passo 4

Como dim(Im,T)=rank(A), concluímos que
dim(Im,T)=3

Resposta

3

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