Considere a transformação linear T: R^3 R^2 dada por:
T(x, y, z)=(-2 x+3 z, y+2 z)
e as bases beta=(2,0,3),(5,1,0),(0,0,-3) de R^3 e beta^prime=(0,1),(-5,-2) de R^2. Determine a matriz [T]beta^prime^beta associada a transformação linear T.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de Tcolon R^3toR^2 relativa à base beta=(2,0,3),(5,1,0),(0,0,-3) no domínio e à base beta'=(0,1),(-5,-2) no contradomínio. Para isso, precisamos:
1. Aplicar T a cada vetor de beta.
2. Expressar cada imagem como combinação linear dos vetores de beta'.
3. Organizar os coeficientes em colunas na ordem dos vetores de beta.

Passo 2

Calcular as imagens:
T(2,0,3)=(-2cdot2+3cdot3,;0+2cdot3)=(5,6),
T(5,1,0)=(-2cdot5+3cdot0,;1+2cdot0)=(-10,1),
T(0,0,-3)=(-2cdot0+3cdot(-3),;0+2cdot(-3))=(-9,-6)

Passo 3

Expressão de (5,6) em beta'. Queremos (5,6)=a,(0,1)+b,(-5,-2)=(-5b,;a-2b).
Igualando coordenadas:
-5b=5implies b=-1, a-2(-1)=6implies a=4
Logo a primeira coluna é 4-1.

Passo 4

Expressão de (-10,1) em beta'.
-5b=-10implies b=2, a-2cdot2=1implies a=5
A segunda coluna é 52.

Passo 5

Expressão de em .
A terceira coluna é
\tfrac{9}{5}\end{pmatrix}].

Passo 6

Juntando as colunas obtidas, a matriz de T relativa a beta e beta' é
[T]beta'^beta = 4 & 5 & -tfrac125 -1 & 2 & tfrac95

Resposta

[T]beta'^beta = 4 & 5 & -tfrac125 -1 & 2 & tfrac95

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