Ache a transformada inversa de:
F(s)=e^2 e^-4 s2 s-1

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=e^2e^-4s2s-1
O conteúdo da matéria é a transformada inversa de Laplace e, em particular, a propriedade de deslocamento no tempo. Precisamos também da transformada inversa básica
L^-1l1s-ar(t)=e^at

Passo 2

Primeiro, separo o fator de atraso e^-4s e o fator e^2:
F(s)=e^2,e^-4s,12s-1

Passo 3

Reescrevo 12s-1 de modo a usar a forma 1s-a. Factorizo 2:
12s-1=12,1s-tfrac12
Como L^-1tfrac1s-tfrac12(t)=e^t/2, segue que
L^-1l12s-1r(t)=12,e^t/2

Passo 4

Agora uso a propriedade de atraso no tempo: se L^-1G(s)(t)=g(t), então
L^-1e^-4sG(s)(t)=g(t-4),u(t-4)
No nosso caso G(s)=e^2,tfrac12s-1 tem inversa g(t)=e^2,tfrac12,e^t/2. Logo
f(t)=e^2,12,e^(t-4)/2,u(t-4)
Bastou substituir t por t-4 e multiplicar pelo degrau u(t-4).

Passo 5

Por fim simplifico o fator exponencial:
e^2e^-(4)/2=e^2e^-2=1,
de modo que
f(t)=12,e^t/2,u(t-4)

Resposta

f(t)=12,e^t/2,u(t-4)

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