Esboce o gráfico de f e ache sua transformada de Laplace:
f(t)=t-u1(t)(t-1), t >= 0

Passo 1

O enunciado define
f(t)=t - u1(t),(t-1), t>=0
e pede que a gente esboce seu gráfico e calcule a transformada de Laplace. Vamos usar a definição da função de Heaviside u1(t) e a fórmula
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt

Passo 2

Primeiro, identificamos o valor de f(t) em cada intervalo:
  • Para 0<= t<1, tem u1(t)=0, logo f(t)=t
  • Para t>=1, tem u1(t)=1, logo f(t)=t-(t-1)=1

Passo 3

O gráfico de f é então:
– de t=0 até t=1, reta que sai de (0,0) e vai a (1,1);
– para t>=1, valor constante f(t)=1.

Passo 4

Agora calculamos
Lf(s) =integral0^inftyf(t)e^-stdt =integral0^1t,e^-stdt;;+;;integral1^infty1cdot e^-stdt

Passo 5

Para a primeira integral usamos integração por partes:
integral t,e^-stdt =-t,e^-sts+integrale^-stsdt =-t,e^-sts-e^-sts^2+C
Avaliando de 0 a 1
integral0^1t,e^-stdt =l[-t,e^-sts-e^-sts^2r]0^1 =1s^2-e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 6

A segunda integral é imediata:
integral1^inftye^-stdt =l[-e^-stsr]1^infty =e^-ss

Passo 7

Somando os dois resultados:
Lf(s) =1s^2-e^-sl(1s+1s^2r) +e^-ss =1s^2-e^-ss^2 =1-e^-ss^2

Resposta

A transformada de Laplace de f é
boxedLf(s)=1-e^-ss^2

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