Por derivação implícita determine d yd x :
2 x+2 y=raizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
2x + 2y = raizx^2 + y^2
A matéria que vamos mexer aqui é Derivação Implícita, que é usada quando temos uma equação envolvendo x e y e precisamos encontrar a derivada dydx sem resolver a equação para y primeiro. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação básicas, como a derivada de uma raiz quadrada e a derivada de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x . Lembre-se que y é uma função de x , então sempre que derivarmos y , precisamos multiplicar pela dydx (isso é a regra da cadeia).
Vamos começar derivando o lado esquerdo da equação:
ddx(2x) + ddx(2y)
A derivada de 2x em relação a x é simplesmente 2. Já para 2y , aplicamos a regra da cadeia:
ddx(2y) = 2 cdot dydx
Então, o lado esquerdo derivado fica:
2 + 2dydx

Passo 3

Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
ddx(raizx^2 + y^2)
Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada da raiz quadrada de algo é:
12raizalgo cdot ddx(algo)
Aqui, “algo” é x^2 + y^2 , então:
12raizx^2 + y^2 cdot ddx(x^2 + y^2)
Agora, derivamos x^2 + y^2 :
ddx(x^2) = 2x
ddx(y^2) = 2y cdot dydx
Então, a derivada do lado direito fica:
12raizx^2 + y^2 cdot (2x + 2ydydx)

Passo 4

Agora, vamos igualar as derivadas dos dois lados:
2 + 2dydx = 12raizx^2 + y^2 cdot (2x + 2ydydx)
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 2raizx^2 + y^2 para eliminar o denominador:
(2 + 2dydx) cdot 2raizx^2 + y^2 = 2x + 2ydydx
Simplificando:
4raizx^2 + y^2 + 4dydxraizx^2 + y^2 = 2x + 2ydydx

Passo 5

Agora, vamos isolar os termos que contêm dydx de um lado e os demais termos do outro lado:
4dydxraizx^2 + y^2 - 2ydydx = 2x - 4raizx^2 + y^2
Fatorando dydx :
dydx (4raizx^2 + y^2 - 2y) = 2x - 4raizx^2 + y^2

Passo 6

Finalmente, isolamos dydx :
dydx = 2x - 4raizx^2 + y^24raizx^2 + y^2 - 2y
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
dydx = x - 2raizx^2 + y^22raizx^2 + y^2 - y

Resposta

A derivada dydx é:
dydx = x - 2raizx^2 + y^22raizx^2 + y^2 - y

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