Por derivação implícita determine
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação:
A matéria que vamos mexer aqui é Derivação Implícita, que é usada quando temos uma equação envolvendo
e
e precisamos encontrar a derivada
sem resolver a equação para
primeiro. Para resolver isso, vamos precisar aplicar regras de derivação básicas, como a derivada de uma raiz quadrada e a derivada de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então sempre que derivarmos
, precisamos multiplicar pela
(isso é a regra da cadeia).
Vamos começar derivando o lado esquerdo da equação:
A derivada de
em relação a
é simplesmente 2. Já para
, aplicamos a regra da cadeia:
Então, o lado esquerdo derivado fica:
Passo 3
Agora, vamos derivar o lado direito da equação:
Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada da raiz quadrada de algo é:
Aqui, “algo” é
, então:
Agora, derivamos
:
Então, a derivada do lado direito fica:
Passo 4
Agora, vamos igualar as derivadas dos dois lados:
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos isolar os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro lado:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Resposta
A derivada
é: