Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto em que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida por
no ponto onde
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada implícita, já que a equação tem
envolvendo
.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar o valor de
quando
. Vamos substituir
na equação dada:
Calculando:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada
usando derivada implícita. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Calculando cada termo:
-
- Para
, usamos a regra do produto: -
Então, temos:
Passo 4
Vamos isolar
:
Agora, substituímos
e
para achar a inclinação da reta tangente:
Então, a inclinação
da reta tangente é
.
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta:
Substituindo:
Resposta
A equação da reta tangente é
.