Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de x^3+x y+4=0 no ponto em que x=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função definida por x^3 + xy + 4 = 0 no ponto onde x = 2 . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente a derivada implícita, já que a equação tem y envolvendo x .

Passo 2

Primeiro, precisamos achar o valor de y quando x = 2 . Vamos substituir x = 2 na equação dada:
(2)^3 + (2)y + 4 = 0
Calculando:
8 + 2y + 4 = 0 12 + 2y = 0 2y = -12 y = -6
Então, o ponto de tangência é (2, -6) .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada dydx usando derivada implícita. Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x :
ddx(x^3) + ddx(xy) + ddx(4) = 0
Calculando cada termo:
  • ddx(x^3) = 3x^2
  • Para ddx(xy) , usamos a regra do produto: x dydx + y
  • ddx(4) = 0
Então, temos:
3x^2 + x dydx + y = 0

Passo 4

Vamos isolar dydx :
x dydx = -3x^2 - y dydx = -3x^2 - yx
Agora, substituímos x = 2 e y = -6 para achar a inclinação da reta tangente:
dydx = -3(2)^2 - (-6)2 = -12 + 62 = -62 = -3
Então, a inclinação m da reta tangente é -3 .

Passo 5

Com o ponto (2, -6) e a inclinação m = -3 , podemos usar a forma ponto-inclinação para escrever a equação da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo:
y - (-6) = -3(x - 2) y + 6 = -3x + 6 y = -3x + 6 - 6 y = -3x

Resposta

A equação da reta tangente é y = -3x .

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