Ache a transformada inversa de:
F(s)=s+1s^3(s+2)^3

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=s+1s^3(s+2)^3
O conteúdo é transformada inversa de Laplace e o método mais direto é a decomposição em frações parciais, seguida de uso de transformadas conhecidas.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
s+1s^3(s+2)^3 =As+Bs^2+Cs^3 +Ds+2+E(s+2)^2+G(s+2)^3
Multiplicando ambos os lados por s^3(s+2)^3 obtemos a identidade polinomial
s+1 =A,s^2(s+2)^3+B,s(s+2)^3+C,(s+2)^3 +D,s^3(s+2)^2+E,s^3(s+2)+G,s^3

Passo 3

Para achar C e G use s=0 e s=-2:
Se s=0: 1= Ccdot2^3, logo C=tfrac18.
Se s=-2: -1=Gcdot(-2)^3=-8G, logo G=tfrac18.

Passo 4

Compare coeficientes em s^1 e constante para achar B:
coef. de s^1: 8B+12C=1 implies 8B+12cdottfrac18=1 implies 8B+tfrac32=1 implies B=-tfrac116.
coef. de s^2: 8A+12B+6C=0 implies 8A+12(-tfrac116)+6cdottfrac18=0 implies A=0.
coef. de s^5: A+D=0 implies D=0.
coef. de s^4: 6A+B+4D+E=0 implies E=-B=tfrac116.

Passo 5

Substituindo os valores obtidos,
F(s) =-1161s^2+181s^3 +1161(s+2)^2 +181(s+2)^3

Passo 6

Usamos as transformadas inversas conhecidas:
L^-1!l(1/s^2r)=t, L^-1!l(1/s^3r)=t^2/2, L^-1!l(1/(s+2)^2r)=t,e^-2t, L^-1!l(1/(s+2)^3r)=tfract^22,e^-2t

Passo 7

Logo a função no domínio do tempo é
f(t) =-116t+18t^22 +116t,e^-2t +18t^22,e^-2t =116l(-t+t^2+t,e^-2t+t^2e^-2tr)
Podemos fatorar:
f(t)=t16l((t-1)+(t+1)e^-2tr)

Resposta

f(t)=t16l(t-1+(t+1)e^-2tr)

Exercícios relacionados