Ache a transformada inversa de:
F(s)=3 s+5s^3+7

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de
F(s)=3s+5s^3+7,
O conteúdo aqui é transformada de Laplace inversa e vamos usar decomposição em frações parciais, completamento de quadrado e tabelas básicas de inversas, em particular
L^-1ltfrac1s+ar=e^-a t, L^-1ltfracs-alpha(s-alpha)^2+beta^2r =e^alpha tcos(beta t),
L^-1ltfrac1(s-alpha)^2+beta^2r =1beta,e^alpha tsin(beta t)

Passo 2

Observe que
s^3+7=s^3+a^3, a=raiz[3]7
Fatoramos sobre os reais:
s^3+a^3=(s+a)l(s^2-a s+a^2r)
Logo buscamos
3s+5(s+a)(s^2-a s+a^2) =As+a+Bs+Cs^2-a s+a^2

Passo 3

Igualando numeradores em
3s+5 =Al(s^2-a s+a^2r)+(Bs+C)(s+a)
e comparando coeficientes de s^2, s e termo constante, obtém-se
A+B=0, -A,a+B,a+C=3, A,a^2+C,a=5
Dessa forma
A=5-3a3a^2, B=-A=-5-3a3a^2, C=10+3a3a

Passo 4

No segundo termo complete o quadrado:
s^2-a s+a^2 =(s-tfrac a2)^2+3a^24
Reescreva o numerador
Bs+C =Bl(s-tfrac a2r)+K,
com
K=B a2+C =-5-3a3a^2 a2+10+3a3a =5+3a2a
Logo
F(s)=As+a +Bl(s-tfrac a2r)(s-tfrac a2)^2+(tfracraiz3,a2)^2 +K(s-tfrac a2)^2+(tfracraiz3,a2)^2

Passo 5

Use as inversas conhecidas:
L^-1ltfrac1s+ar =e^-a t, L^-1ltfracs-tfrac a2(s-tfrac a2)^2+(tfracraiz3,a2)^2r =e^tfrac a2tcos!l(tfracraiz3,a2tr),
L^-1ltfrac1(s-tfrac a2)^2+(tfracraiz3,a2)^2r =2raiz3,a,e^tfrac a2tsin!l(tfracraiz3,a2tr)
Assim
f(t)=A,e^-a t + B,e^tfrac a2tcos!l(tfracraiz3,a2tr) +K2raiz3,a,e^tfrac a2tsin!l(tfracraiz3,a2tr)
Substituindo
;a=raiz[3]7,
;A=5-3a3a^2,
;B=-5-3a3a^2,
;K=5+3a2a,
;beta=tfracraiz3,a2, obtemos a forma final abaixo.

Resposta

boxed f(t) =5-3a3a^2,e^-a t -5-3a3a^2,e^tfrac a2tcosl(beta tr) +5+3araiz3,a^2,e^tfrac a2tsinl(beta tr),
onde
;a=raiz[3]7 e ;beta=tfracraiz3,a2

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