Ache a transformada inversa de:
F(s)=3 s-2s^5+4 s^3

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=3s-2s^5+4s^3,
O conteúdo envolve fatorar o denominador, fazer frações parciais e usar as fórmulas conhecidas:
L^-1[1/s]=1, L^-1[1/s^2]=t, L^-1[1/s^3]=t^2/2,
L^-1[s/(s^2+a^2)]=cos(at) e L^-1[1/(s^2+a^2)]=sin(at)/a.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^5+4s^3=s^3,(s^2+4),
Logo propomos a decomposição
3s-2s^3(s^2+4) =As+Bs^2+Cs^3+Ds+Es^2+4,

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s^3(s^2+4) e agrupando termos, obtemos a identidade em s:
3s-2 =A,s^2(s^2+4)+B,s(s^2+4)+C,(s^2+4)+(Ds+E)s^3
Isso gera o polinômio
(A+D)s^4+(B+E)s^3+(4A+C)s^2+4B,s+4C=0cdot s^4+0cdot s^3+0cdot s^2+3s-2
Igualando coeficientes, vem o sistema:
A+D=0, B+E=0, 4A+C=0, 4B=3, 4C=-2
Resolvendo:
B=tfrac34, C=-tfrac12, A=tfrac18, D=-tfrac18, E=-tfrac34

Passo 4

A decomposição final é
F(s) =1/8s+3/4s^2-1/2s^3 +-tfrac18,s-tfrac34s^2+4

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
  • L^-1l[tfrac1/8sr]=tfrac18.
  • L^-1l[tfrac3/4s^2r]=tfrac34,t.
  • L^-1l[-tfrac12cdottfrac1s^3r] =-tfrac12cdott^22=-t^24
  • L^-1l[-tfrac18cdottfracss^2+4r] =-tfrac18cos(2t)
  • L^-1l[-tfrac34cdottfrac1s^2+4r] =-tfrac34cdotsin(2t)2 =-38sin(2t)

Resposta

f(t) =18+34,t-t^24-18cos(2t)-38sin(2t)

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