Ache transformada inversa de Laplace pela convolução:
(a) L^{-1}\left\{\frac{1}{s(s+1)}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de Laplace de
\frac{1}{s(s+1)}
usando o Teorema da Convolução. O conteúdo envolvido é a definição de convolução de duas funções cuja transformada de Laplace sabemos, e a aplicação direta da integral de convolução.

Passo 2

Observamos que
\frac{1}{s(s+1)} = \frac{1}{s}\;\cdot\;\frac{1}{s+1}.
Seja
F(s)=\frac{1}{s},\quad G(s)=\frac{1}{s+1}.
Sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t)=f(t)=1,\quad \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t)=g(t)=e^{-t}.
Pelo Teorema da Convolução,
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\,G(s)\}(t)= (f*g)(t)=\int_{0}^{t}f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.

Passo 3

Aplicando a definição de convolução, temos
(f*g)(t)=\int_{0}^{t}1\;\cdot\;e^{-(t-\tau)}\,d\tau =\int_{0}^{t}e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Fatorando e^{-t},
(f*g)(t)=e^{-t}\int_{0}^{t}e^{\tau}\,d\tau =e^{-t}\bigl[e^{\tau}\bigr]_{0}^{t} =e^{-t}\bigl(e^{t}-1\bigr).

Passo 4

Simplificando,
(f*g)(t)=1 - e^{-t}.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}^{-1}\biggl\{\frac{1}{s(s+1)}\biggr\}(t)=1 - e^{-t}.

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