Calcule f * g pela fórmula f * g(t)=\int_{0}^{t} f(x) g(t-x) d x.
(f) \operatorname{sen} t * \operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado pede a convolução
(f * g)(t)=\int_{0}^{t}f(x)\,g(t - x)\,dx
para f(t)=\sin t e g(t)=\sin t.
Ou seja, precisamos calcular
\int_{0}^{t}\sin x\;\sin\bigl(t - x\bigr)\,dx,
usando identidades trigonométricas e integração.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\sin A\,\sin B = \tfrac12\bigl[\cos(A - B)-\cos(A + B)\bigr].
Aqui A = x e B = t - x, logo
\sin x\,\sin(t - x) = \tfrac12\bigl[\cos\bigl(x-(t-x)\bigr)-\cos\bigl(x+(t-x)\bigr)\bigr] = \tfrac12\bigl[\cos(2x - t)-\cos t\bigr].
Substituindo na integral, fica
(f * g)(t) = \tfrac12\int_{0}^{t}\cos(2x - t)\,dx \;-\;\tfrac12\int_{0}^{t}\cos t\,dx.

Passo 3

O segundo termo é direto, pois \cos t é constante em x:
\int_{0}^{t}\cos t\,dx = \cos t\;\bigl[x\bigr]_{0}^{t} = t\,\cos t.

Passo 4

Para o primeiro termo, fazemos a mudança de variável
u = 2x - t,\quad du = 2\,dx
Quando x=0, u=-t; quando x=t, u=+t. Então
\int_{0}^{t}\cos(2x - t)\,dx = \int_{u=-t}^{u=t}\cos u\;\frac{du}{2} = \tfrac12\bigl[\sin u\bigr]_{-t}^{t} = \tfrac12\bigl(\sin t - (-\sin t)\bigr) = \sin t.

Passo 5

Reunindo os dois resultados em
(f * g)(t) = \tfrac12\bigl[\underbrace{\sin t}_{\text{Passo 4}} \;-\;\underbrace{t\cos t}_{\text{Passo 3}}\bigr] = \tfrac12\bigl(\sin t - t\cos t\bigr).

Resposta

(f * g)(t) = \tfrac12\bigl(\sin t - t\cos t\bigr).

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