Ache transformada inversa de Laplace pela convolução:
L^{-1}\left\{\frac{s^{2}}{\left(s^{2}+1 ^{2}}\} \right})

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
L^{-1}\!\Bigl\{\frac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr\}
pelo método da convolução. Vamos usar o Teorema da Convolução, que diz que se
F(s)=L\{f(t)\} \quad\text{e}\quad G(s)=L\{g(t)\},
então
L^{-1}\{F(s)\,G(s)\} =\int_{0}^{t}f(u)\,g(t-u)\,\mathrm{d}u.

Passo 2

Observe que
\frac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}} =\frac{s}{s^{2}+1}\;\cdot\;\frac{s}{s^{2}+1}.
Chamando
F(s)=\frac{s}{s^{2}+1} \quad\text{e}\quad G(s)=\frac{s}{s^{2}+1},
sabemos que
L^{-1}\{F(s)\}=f(t)=\cos t \quad\text{e}\quad L^{-1}\{G(s)\}=g(t)=\cos t.
Portanto
L^{-1}\!\Bigl\{\frac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr\} =\int_{0}^{t}\cos u\;\cos(t-u)\,\mathrm{d}u.

Passo 3

Para calcular
I(t)=\int_{0}^{t}\cos u\;\cos(t-u)\,\mathrm{d}u
use a identidade trigonométrica
\cos u\;\cos(t-u) =\tfrac12\bigl[\cos t+\cos(t-2u)\bigr].
Então
I(t) =\tfrac12\int_{0}^{t}\cos t\,\mathrm{d}u \;+\;\tfrac12\int_{0}^{t}\cos(t-2u)\,\mathrm{d}u.
A primeira integral é
\int_{0}^{t}\cos t\,\mathrm{d}u =\cos t\int_{0}^{t}1\,\mathrm{d}u =t\cos t.
Na segunda, faça v=t-2u, de modo que \mathrm{d}v=-2\,\mathrm{d}u. Quando u=0, v=t; quando u=t, v=-t. Logo
\int_{0}^{t}\cos(t-2u)\,\mathrm{d}u =\int_{v=t}^{-t}\cos v\;\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\,\mathrm{d}v =\tfrac{1}{2}\int_{-t}^{t}\cos v\,\mathrm{d}v =\tfrac{1}{2}\bigl[2\sin t\bigr] =\sin t.
Somando,
I(t) =\tfrac12\bigl(t\cos t\bigr) +\tfrac12\bigl(\sin t\bigr) =\frac{\sin t + t\cos t}{2}.

Resposta

L^{-1}\!\Bigl\{\frac{s^{2}}{(s^{2}+1)^{2}}\Bigr\} =\frac{\sin t + t\cos t}{2}.

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