Ache a transformada de Laplace das seguintes funçÔes:
2 e^-x cos x+3 e^-x sen x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace da função 2 e^-x cos x + 3 e^-x sin x. O conteúdo que vamos utilizar aqui é a transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as propriedades da linearidade e as transformadas de funções exponenciais multiplicadas por senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transformada de Laplace é linear. Isso significa que podemos separar a transformada de uma soma em soma das transformadas. Assim, temos:
L2 e^-x cos x + 3 e^-x sin x = 2 Le^-x cos x + 3 Le^-x sin x

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as transformadas de e^-x cos x e e^-x sin x. Para isso, vamos usar a seguinte fórmula da transformada de Laplace para funções da forma e^at cos(bt) e e^at sin(bt):
Le^at cos(bt) = s - a(s - a)^2 + b^2
Le^at sin(bt) = b(s - a)^2 + b^2
No nosso caso, a = -1 e b = 1, já que temos e^-x.

Passo 4

Aplicando as fórmulas acima, vamos calcular cada transformada:
Para e^-x cos x:
Le^-x cos x = s - (-1)(s - (-1))^2 + 1^2 = s + 1(s + 1)^2 + 1
Para e^-x sin x:
Le^-x sin x = 1(s - (-1))^2 + 1^2 = 1(s + 1)^2 + 1

Passo 5

Agora, substituímos essas transformadas na expressão inicial:
2 Le^-x cos x + 3 Le^-x sin x = 2 cdot s + 1(s + 1)^2 + 1 + 3 cdot 1(s + 1)^2 + 1

Passo 6

Vamos simplificar a expressão somando as frações:
2 cdot s + 1(s + 1)^2 + 1 + 3 cdot 1(s + 1)^2 + 1 = 2(s + 1) + 3(s + 1)^2 + 1
= 2s + 2 + 3(s + 1)^2 + 1 = 2s + 5(s + 1)^2 + 1

Resposta

A transformada de Laplace da função 2 e^-x cos x + 3 e^-x sin x é:
L2 e^-x cos x + 3 e^-x sin x = 2s + 5(s + 1)^2 + 1

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