Determine se as seguintes integrais impróprias convergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! A pergunta é para verificar se a integral
converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais impróprias onde o limite superior é infinito. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções potências e analisar o comportamento delas quando o limite vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função do tipo
. A regra geral é:
onde
é a constante de integração, e isso vale para qualquer
.
Passo 3
No nosso caso, a função a ser integrada é
. Aplicando a regra de integração:
Ou seja, a antiderivada de
é
.
Passo 4
Agora vamos calcular a integral definida de 1 até
(onde
vai para o infinito):
Passo 5
Para determinar se a integral converge, precisamos ver o que acontece quando
tende ao infinito:
Isso significa que a integral aumenta sem limite conforme
cresce.
Resposta
A integral
diverge, ou seja, não converge para um valor finito.