Determine se as seguintes integrais impróprias convergem:
integral1^infty x^-12 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! A pergunta é para verificar se a integral integral1^infty x^-12 , dx converge ou diverge. Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, especificamente com integrais impróprias onde o limite superior é infinito. Para resolver, vamos precisar entender como calcular integrais de funções potências e analisar o comportamento delas quando o limite vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como integrar uma função do tipo x^n. A regra geral é:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração, e isso vale para qualquer n neq -1.

Passo 3

No nosso caso, a função a ser integrada é x^-12. Aplicando a regra de integração:
integral x^-12 , dx = x^-12 + 1-12 + 1 + C = x^1212 + C = 2x^12 + C
Ou seja, a antiderivada de x^-12 é 2raizx.

Passo 4

Agora vamos calcular a integral definida de 1 até b (onde b vai para o infinito):
integral1^b x^-12 , dx = [2raizx]1^b = 2raizb - 2raiz1 = 2raizb - 2

Passo 5

Para determinar se a integral converge, precisamos ver o que acontece quando b tende ao infinito:
limb to infty (2raizb - 2) = infty - 2 = infty
Isso significa que a integral aumenta sem limite conforme b cresce.

Resposta

A integral integral1^infty x^-12 , dx diverge, ou seja, não converge para um valor finito.

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