Ache a transformada de Laplace das seguintes funçÔes:
x^3+3 cos 2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a transformada de Laplace da função x^3 + 3 cos 2x . Aqui, estamos trabalhando com a matéria de Transformadas de Laplace, que é super útil para resolver equações diferenciais. Vamos precisar usar as fórmulas de transformada de Laplace para funções polinomiais e para funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar: x^3 e 3 cos 2x . A transformada de Laplace é uma operação linear, então podemos transformar cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar com x^3 . A fórmula da transformada de Laplace para x^n é:
Lx^n = n!s^n+1
Aqui, n = 3 , então:
Lx^3 = 3!s^4 = 6s^4

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte, 3 cos 2x . A fórmula da transformada de Laplace para cos(ax) é:
Lcos(ax) = ss^2 + a^2
No nosso caso, a = 2 , então:
Lcos 2x = ss^2 + 4
Multiplicando por 3:
L3 cos 2x = 3 times ss^2 + 4 = 3ss^2 + 4

Passo 5

Por fim, somamos as transformadas das duas partes:
Lx^3 + 3 cos 2x = 6s^4 + 3ss^2 + 4

Resposta

A transformada de Laplace de x^3 + 3 cos 2x é:
Lx^3 + 3 cos 2x = 6s^4 + 3ss^2 + 4

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