Ache a transformada de Laplace das seguintes funçÔes:
5 e^2 x+7 e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função 5 e^2x + 7 e^-x. A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do tempo (como sinais ou equações diferenciais) para o domínio da frequência, facilitando a resolução de problemas. Para resolver isso, vamos usar as propriedades básicas da transformada de Laplace para funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula básica da transformada de Laplace para uma função exponencial. Se tivermos uma função da forma e^ax , a transformada de Laplace Le^ax é dada por:
Le^ax = 1s - a
Onde:
  • s é a variável complexa na transformada de Laplace.
  • a é a constante no expoente.
Essa fórmula nos mostra como transformar uma função exponencial simples para o domínio de Laplace.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula a cada termo da nossa função original 5 e^2x + 7 e^-x.
Primeiro, para 5 e^2x:
  • Aqui, a = 2 .
  • Aplicando a fórmula: L5 e^2x = 5 cdot 1s - 2 = 5s - 2 .
Segundo, para 7 e^-x:
  • Aqui, a = -1 .
  • Aplicando a fórmula: L7 e^-x = 7 cdot 1s - (-1) = 7s + 1 .

Passo 4

Agora, precisamos somar as transformadas de Laplace de cada termo para obter a transformada total da função original:
L5 e^2x + 7 e^-x = 5s - 2 + 7s + 1

Resposta

A transformada de Laplace da função 5 e^2x + 7 e^-x é:
L5 e^2x + 7 e^-x = 5s - 2 + 7s + 1

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