Ache a transformada de Laplace das seguintes funçÔes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ x^{2} \sin(4x) $. Isso está na matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar uma fórmula que relaciona a transformada de Laplace de $ x^n $ vezes uma função com a derivada da transformada dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a transformada de Laplace da função seno. Sabemos que:
No nosso caso, $ a = 4 $, então:
Passo 3
Agora, queremos a transformada de $ x^{2} \sin(4x) $. Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que nos ajuda aqui:
Para o nosso caso, $ n = 2 $ e $ f(x) = \sin(4x) $. Então:
Como $ (-1)^{2} = 1 $, podemos simplificar:
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada dessa expressão em relação a $ s $:
Passo 5
Agora, calculamos a segunda derivada:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace da função $ x^{2} \sin(4x) $ é: