Ache a transformada de Laplace das seguintes funçÔes:
x^2 sen 4 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função $ x^{2} \sin(4x) $. Isso está na matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais. Para isso, vamos precisar usar uma fórmula que relaciona a transformada de Laplace de $ x^n $ vezes uma função com a derivada da transformada dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a transformada de Laplace da função seno. Sabemos que:
Lsin(a x) = as^2 + a^2
No nosso caso, $ a = 4 $, então:
a = 4

Passo 3

Agora, queremos a transformada de $ x^{2} \sin(4x) $. Existe uma propriedade das transformadas de Laplace que nos ajuda aqui:
x^2 sin(4x)
Para o nosso caso, $ n = 2 $ e $ f(x) = \sin(4x) $. Então:
Lx^n f(x) = (-1)^n d^nds^n Lf(x)
Como $ (-1)^{2} = 1 $, podemos simplificar:
n = 2

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada dessa expressão em relação a $ s $:
s

Passo 5

Agora, calculamos a segunda derivada:
d^2ds^2 ( 4s^2 + 16 ) = 8(s^2 - 16)(s^2 + 16)^3

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace da função $ x^{2} \sin(4x) $ é:
x^2 sin(4x)

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