Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
integral1^5(2+3 x-x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral1^5l(2 + 3x - x^2r),dx
usando a definição de Riemann (Teorema 4), ou seja, como limite de somas de Riemann para partições de [1,5].

Passo 2

Vamos dividir [1,5] em n subintervalos de mesmo comprimento
De<a x = 5 - 1n = 4n
O ponto de amostragem no i-ésimo subintervalo será
xi = 1 + i,De<a x = 1 + 4in, i=1,2,dots,n

Passo 3

Formamos a soma de Riemann
Sn = sumi=1^n f(xi),De<a x com f(x) = 2 + 3x - x^2
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Sn = sumi=1^nl(2 + 3xi - xi^2r),4n

Passo 4

Para simplificar, dividimos em três somas:
sumi=1^n2 = 2n, sumi=1^n3xi = 3sumi=1^nl(1 + 4inr), sumi=1^nxi^2 = sumi=1^nl(1 + 4inr)^2

Passo 5

Usamos as fórmulas clássicas sumi=1^ni = n(n+1)2 e sumi=1^ni^2 = n(n+1)(2n+1)6.
Calcula-se
sumi=1^n3xi = 3l(n + 4ncdotn(n+1)2r) = 3l(n + 2(n+1)r) = 3(3n+2),
sumi=1^nxi^2 = n + 8ncdotn(n+1)2 + 16n^2cdotn(n+1)(2n+1)6 = 5n+4 + 8,n(n+1)(2n+1)3,n^2

Passo 6

Substituindo em Sn:
Sn = 4nl[2n + 3(3n+2) - l(5n+4 + tfrac8,n(n+1)(2n+1)3n^2r)r] = 4nl[6n+2 - 8,n(n+1)(2n+1)3n^2r]
Fazendo as operações e simplificando, chega-se a
Sn = 83 + l(termos que tendem a 0r)

Passo 7

Tomando o limite quando ntoinfty, os termos que envolvem 1/n e 1/n^2 desaparecem, restando
integral1^5l(2+3x - x^2r),dx = limntoinfty Sn = 83

Resposta

83

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