Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=lrt, & t<2 2, & t>2

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função por partes
f(t)= t, & 0<= t<2, 2, & t>2,
usando a definição
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Vamos dividir a integral em 0<= t<=2 e t>=2.

Passo 2

Escrevemos
Lf(s) =integral0^2t,e^-st,dt+integral2^infty2,e^-st,dt

Passo 3

Calculemos
I1=integral0^2t,e^-st,dt
por partes, com u=t, dv=e^-stdt. Então du=dt e v=-e^-sts, logo
integral t,e^-stdt =-t,e^-sts -integrall(-1sr)e^-stdt =-t,e^-sts-e^-sts^2
Avaliando de 0 a 2,
I1=l[-tfract,e^-sts-tfrace^-sts^2r]0^2 =-2e^-2ss-e^-2ss^2 -l(0-1s^2r) =1s^2-e^-2sl(2s+1s^2r)

Passo 4

Agora
I2=integral2^infty2,e^-stdt =2l[-e^-stsr]2^infty =2cdote^-2ss

Passo 5

Somando I1+I2,
Lf(s) =1s^2 -e^-2sl(2s+1s^2r) +2e^-2ss =1s^2-e^-2ss^2 =1-e^-2ss^2

Resposta

Lf(s)=1-e^-2ss^2

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