Encontre a solução do problema de valor inicial.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Este é um EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar a teoria de equações lineares com coeficientes constantes, obtendo primeiro a solução da homogênea e depois uma solução particular por variação de parâmetros.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Suas soluções fundamentais são
logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para encontrar uma solução particular
, aplicamos variação de parâmetros. Assumimos
com as condições auxiliares
O Wronskiano das soluções
é
, e resolvendo o sistema para
e
obtemos
Passo 4
Integramos de
a
e usamos condições iniciais para que
satisfaça
:
Assim
Passo 5
Somando
e
e impondo
,
faz
. Reescrevendo
em forma de convolução, nota-se que