Encontre a solução do problema de valor inicial.
y^prime prime+y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + y = f(t), y(0)=0, y'(0)=0
Este é um EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos usar a teoria de equações lineares com coeficientes constantes, obtendo primeiro a solução da homogênea e depois uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + y = 0
Suas soluções fundamentais são
y1(t)=cos t, y2(t)=sin t,
logo a solução geral da homogênea é
yh(t)=C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para encontrar uma solução particular yp(t), aplicamos variação de parâmetros. Assumimos
yp(t)=u1(t)cos t + u2(t)sin t
com as condições auxiliares
u1'(t)cos t + u2'(t)sin t = 0,
-u1'(t)sin t + u2'(t)cos t = f(t)
O Wronskiano das soluções cos t,sin t é W=1, e resolvendo o sistema para u1' e u2' obtemos
u1'(t) = -f(t),sin t, u2'(t)=f(t),cos t

Passo 4

Integramos de 0 a t e usamos condições iniciais para que yp satisfaça y(0)=y'(0)=0:
u1(t) = -integral0^tf(s)sin s,ds, u2(t) = integral0^tf(s)cos s,ds
Assim
yp(t) =-cos tintegral0^tf(s)sin s,ds +sin tintegral0^tf(s)cos s,ds

Passo 5

Somando yh e yp e impondo y(0)=0, y'(0)=0 faz C1=C2=0. Reescrevendo yp em forma de convolução, nota-se que
y(t) =integral0^tsinl(t-sr),f(s),ds

Resposta

y(t)=integral0^tsinl(t-sr),f(s),ds

Exercícios relacionados