Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=csen(t), 0 <= t <= 2 pi 0, t>2 pi.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)= sen(t),&0<= t<=2pi, 0,&t>2pi
O conteúdo é transformada de Laplace de função “recortada” num intervalo. Vamos usar a definição integral ou, mais elegantemente, representar com funções de Heaviside (passo-função) e aplicar linearidade e o teorema de translação no tempo.

Passo 2

Definimos a função de Heaviside u(t) que vale 1 para t>=0 e 0 para t<0. Assim podemos escrever
f(t)=sen(t)l(u(t)-u(t-2pi)r),
pois para 0<= t<2pi temos u(t)=1 e u(t-2pi)=0, gente que dá sen(t), e para t>2pi eles se cancelam e f(t)=0.

Passo 3

Usando linearidade da transformada de Laplace Lcdot,
Lf(t) =Lsen(t),u(t) -Lsen(t),u(t-2pi)

Passo 4

Sabemos que
Lsen(t),u(t) =integral0^inftye^-stsen(t),dt =1s^2+1

Passo 5

Para o segundo termo usamos o teorema de translação no tempo: se g(t)=sen(t), então
sen(t),u(t-2pi) =underbracesenl((t-2pi)+2pir)=sen(t-2pi)u(t-2pi),
e vale
Lsen(t-2pi),u(t-2pi) =e^-2pi s,Lsen(t) =e^-2pi s,1s^2+1

Passo 6

Substituindo em Lf(t),
Lf(t) =1s^2+1 -;e^-2pi s,1s^2+1 =1 - e^-2pi ss^2+1

Resposta

boxed Lf(t) =1 - e^-2pi ss^2+1

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