Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=l0, t3 pi2

Passo 1

A função é zero fora do intervalo pi2 e vale cos(t) dentro desse intervalo. O conteúdo principal é Transformada de Laplace, usando a definição Lf(t)(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt.

Passo 2

Como f(t)=0 para t e t>tfrac3pi2, podemos escrever diretamente:
Lf(t)(s)=integralpi/2^3pi/2cos(t)e^-st,dt

Passo 3

Para calcular essa integral, primeiro obtemos a integral indefinida. Por partes ou usando fórmula padrão, temos:
integral e^-stcos(t),dt=e^-st(-scos t+sin t)s^2+1

Passo 4

Agora avaliamos de t=pi2 até t=3pi2:
Lf(t)(s)=1s^2+1l[e^-s t(-scos t+sin t)r]t=pi/2^t=3pi/2

Passo 5

Substituindo os limites: em t=3pi/2, cos(3pi/2)=0, sin(3pi/2)=-1, dá -e^-3spi/2; em t=pi/2, cos(pi/2)=0, sin(pi/2)=1, dá +e^-spi/2. Portanto:
Lf(t)(s)=-e^-3spi/2-e^-spi/2s^2+1 = -e^-spi/2+e^-3spi/2s^2+1

Resposta

-dfrace^-tfracpi2s+e^-tfrac3pi2ss^2+1

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