Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=sen(t), 0 <= t<pi, f(t+pi)=f(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função periódica de período T=pi, definida em cada intervalo [0,pi) por
f(t)=sin(t),
e estendida com período pi. O conteúdo principal é a transformada de Laplace de função periódica, usando a fórmula que relaciona a integral num período com a soma geométrica que surge da repetição.

Passo 2

A fórmula da transformada de Laplace de uma função f periódica de período T é
Lf(s) =integral0^inftyf(t),e^-st,dt =11-e^-sTintegral0^Tf(t),e^-st,dt
Aqui T=pi, logo
Lf(s) =11-e^-spiintegral0^pisin(t),e^-st,dt

Passo 3

Calculemos a integral
I=integral0^pie^-stsin(t),dt
Usando a fórmula padrão
integral0^ae^-stsin(omega t),dt =omegas^2+omega^2 -e^-sal(ssin(omega a)+omegacos(omega a)r)s^2+omega^2,
com omega=1 e a=pi, temos sin(pi)=0 e cos(pi)=-1, de onde
I =1s^2+1 -e^-spil(scdot0+1cdot(-1)r)s^2+1 =1+e^-spis^2+1

Passo 4

Substituindo I na fórmula da transformada periódica, obtemos
Lf(s) =11-e^-spi;1+e^-spis^2+1 =1+e^-spi(s^2+1)l(1-e^-spir)

Passo 5

Uma forma alternativa de escrever a fração é usar
1+e^-spi1-e^-spi =coth!l(tfracspi2r),
logo a transformada pode ficar
Lf(s) =coth!l(tfracspi2r)s^2+1

Resposta

boxed Lf(s) =1+e^-spi(s^2+1)l(1-e^-spir) ou coth!l(tfracspi2r)s^2+1

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