Calcule as integrais:
integral1^2(t^2 imath+t raizt-1 jmath+t sen pi t k) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de um campo vetorial de hatimath,hatjmath,hat k entre t=1 e t=2:
integral1^2l(t^2,hatimath ;+; traizt-1,hatjmath ;+; tsin(pi t),hat kr),dt
O conteúdo envolvido é integração de função vetorial, que se faz componente a componente. Usaremos a regra de potência para hatimath, substituição para hatjmath e integração por partes para hat k.

Passo 2

Componente hatimath:
integral1^2t^2,dt =l[t^33r]1^2 =2^33-1^33 =8-13 =73

Passo 3

Componente hatjmath: faça u=t-1, então t=u+1 e dt=du. Os limites passam de t=1mapsto u=0 e t=2mapsto u=1. A integral vira
integral0^1(u+1)raizu,du =integral0^1l(u^3/2+u^1/2r),du =l[25u^5/2+23u^3/2r]0^1 =25+23 =6+1015 =1615

Passo 4

Componente hat k:
integral1^2tsin(pi t),dt
Use partes com u=t, dv=sin(pi t),dt. Então du=dt e v=-1picos(pi t). Logo
integral tsin(pi t),dt =-tcos(pi t)pi +integral1picos(pi t),dt =-tcos(pi t)pi +sin(pi t)pi^2
Avaliando de 1 a 2:
l(-tcos(pi t)pi+sin(pi t)pi^2r)1^2 =l(-2cos(2pi)pi+0r) -l(-1cos(pi)pi+0r) =-2pi-l(+1pir) =-3pi

Passo 5

Reunindo as três componentes, a integral vetorial é
73,hatimath ;+;1615,hatjmath ;-;3pi,hat k

Resposta

integral1^2l(t^2hatimath+traizt-1hatjmath+tsin(pi t)hat kr),dt =73,hatimath+1615,hatjmath-3pi,hat k

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