Calcule as integrais:
integral0^pi / 2(3 sen^2 t cos t imath+3 sen t cos ^2 t jmath+2 sen t cos t k) d t

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral vetorial
integral0^pi/2l(3sin^2 tcos t,imath+3sin tcos^2 t,jmath+2sin tcos t,kr)dt
O conteúdo aqui é integração de cada componente separadamente, usando mudança de variável (substituição).

Passo 2

Para a componente em imath:
Ix=integral0^pi/23sin^2 tcos t,dt
Fazendo u=sin t, temos du=cos t,dt e, quando t=0, u=0; quando t=pi/2, u=1. Então
Ix=3integral0^1u^2,du =3l[u^33r]0^1 =1

Passo 3

Para a componente em jmath:
Iy=integral0^pi/23sin tcos^2 t,dt
Fazendo v=cos t, dv=-sin t,dt e, quando t=0, v=1; quando t=pi/2, v=0. Assim
Iy=3integral1^0v^2(-dv) =3integral0^1v^2,dv =3l[v^33r]0^1 =1

Passo 4

Para a componente em k:
Iz=integral0^pi/22sin tcos t,dt
Note que ddt(sin^2 t)=2sin tcos t, logo
Iz=integral0^pi/2ddt(sin^2 t),dt =l[sin^2 tr]0^pi/2 =1

Resposta

imath+jmath+k

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