Calcule as integrais:
integral0^2(t imath-t^3 jmath+3 t^5 k) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral vetorial de vec F(t)=t,imath-t^3,jmath+3t^5,k no intervalo de t=0 a t=2. Este é um exercício de cálculo de integrais definidas de funções vetoriais por componentes.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral vetorial, que diz que
integral vec F(t),dt = integral Fx(t),dt;imath + integral Fy(t),dt;jmath + integral Fz(t),dt;k
Ou seja, podemos integrar cada componente separadamente.

Passo 3

Calculamos as antiderivadas de cada componente:
integral t,dt = t^22, integral (-t^3),dt = -t^44, integral 3t^5,dt = 3t^66 = t^62
Portanto, uma primitiva vetorial é
vec G(t) = t^22,imath - t^44,jmath + t^62,k

Passo 4

Avaliando vec G(t) de 0 a 2:
vec G(2)-vec G(0) = l(tfrac2^22r)imath - l(tfrac2^44r)jmath + l(tfrac2^62r)k - l(0,imath-0,jmath+0,kr)
Como tfrac2^22=2, tfrac2^44=4 e tfrac2^62=32, obtemos o resultado final.

Resposta

integral0^2l(t,imath-t^3,jmath+3t^5,kr),dt = 2,imath - 4,jmath + 32,k

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