Ache a transformada de Laplace das seguintes funções:
e) f(t)=sen(t), 0 <= t<pi, f(t+pi)=f(t)

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de uma função periódica definida por
f(t)=sin t para 0<= t<pi e com período T=pi (ou seja, f(t+pi)=f(t)).
O conteúdo principal é usar a fórmula da transformada de Laplace para funções periódicas e, em seguida, calcular uma integral exponencial.

Passo 2

Para uma função f com período T, a transformada de Laplace satisfaz
Lf(s) =11-e^-sTintegral0^Te^-stf(t),dt
Aqui T=pi, logo
F(s)=Lf(s) =11-e^-spiintegral0^pie^-stsin t,dt

Passo 3

Calcular a integral
I=integral0^pie^-stsin t,dt.
Usamos a fórmula padrão
integral0^ae^-stsin(omega t),dt =omegas^2+omega^2l(1-e^-sacos(omega a)r) -ss^2+omega^2,e^-sasin(omega a)
No nosso caso omega=1 e a=pi. Como cospi=-1 e sinpi=0, vem
I =1s^2+1l(1-e^-spi(-1)r) -ss^2+1,e^-spicdot 0 =1+e^-spis^2+1

Passo 4

Substituindo em F(s):
F(s) =11-e^-spi;1+e^-spis^2+1 =1+e^-spi(s^2+1),(1-e^-spi)

Passo 5

Opcionalmente, usando a identidade
coth x=(e^x+e^-x)/(e^x-e^-x) com x=spi/2, obtemos a forma mais compacta
F(s) =1s^2+1,coth!l(tfracspi2r)

Resposta

Exercícios relacionados