Utilize substituição trigonométrica para calcular a área compreendida pela elipse x^29+y^24=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da elipse dada pela equação x^29 + y^24 = 1 usando substituição trigonométrica. Primeiro, vamos lembrar que uma elipse tem dois eixos principais: o maior (a) e o menor (b). Aqui, a = 3 e b = 2. Para encontrar a área, vamos usar integrais e aplicar uma substituição trigonométrica para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos reescrever a equação da elipse para isolarmos y em função de x:
x^29 + y^24 = 1 implies y^24 = 1 - x^29 implies y = 2raiz1 - x^29
A área da elipse pode ser calculada integrando y de -3 a 3 (já que a = 3) e multiplicando por 2 devido à simetria.

Passo 3

Vamos montar a integral para a área:
Área = 2 integral-3^3 y , dx = 2 integral-3^3 2raiz1 - x^29 , dx = 4 integral-3^3 raiz1 - x^29 , dx Á
Como a função é par, podemos simplificar para:
Área = 8 integral0^3 raiz1 - x^29 , dx Á

Passo 4

Agora, vamos usar a substituição trigonométrica. Vamos definir:
x3 = sin theta implies x = 3 sin theta implies dx = 3 cos theta , dtheta
Quando x = 0, theta = 0, e quando x = 3, theta = pi2.

Passo 5

Substituindo na integral:
Área = 8 integral0^pi2 raiz1 - sin^2 theta cdot 3 cos theta , dtheta = 8 cdot 3 integral0^pi2 cos theta cdot cos theta , dtheta = 24 integral0^pi2 cos^2 theta , dtheta Á

Passo 6

Vamos simplificar cos^2 theta usando a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então, a integral fica:
24 integral0^pi2 1 + cos 2theta2 , dtheta = 12 integral0^pi2 (1 + cos 2theta) , dtheta

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
12 [ integral0^pi2 1 , dtheta + integral0^pi2 cos 2theta , dtheta ] = 12 [ theta + sin 2theta2 ]0^pi2

Passo 8

Calculando os limites:
12 [ ( pi2 + sin pi2 ) - ( 0 + sin 02 ) ] = 12 ( pi2 + 0 - 0 ) = 12 cdot pi2 = 6pi

Resposta

A área compreendida pela elipse é 6pi unidades de área.

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