Utilize substituição trigonométrica para calcular a área compreendida pela elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da elipse dada pela equação
usando substituição trigonométrica. Primeiro, vamos lembrar que uma elipse tem dois eixos principais: o maior (a) e o menor (b). Aqui,
e
. Para encontrar a área, vamos usar integrais e aplicar uma substituição trigonométrica para facilitar o cálculo.
Passo 2
Vamos reescrever a equação da elipse para isolarmos
em função de
:
A área da elipse pode ser calculada integrando
de
a
(já que
) e multiplicando por 2 devido à simetria.
Passo 3
Vamos montar a integral para a área:
Como a função é par, podemos simplificar para:
Passo 4
Agora, vamos usar a substituição trigonométrica. Vamos definir:
Quando
,
, e quando
,
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Passo 6
Vamos simplificar
usando a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Calculando os limites:
Resposta
A área compreendida pela elipse é
unidades de área.