Mostre que
integral0^pi x sin (nx) dx=-pin cos (npi)
para todo n inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
integral0^pi x sin(nx),dx = -pincos(npi)
para todo ninZ^+.
O método mais direto é usar o teorema de integração por partes, que diz
integral u,dv = u v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = sin(nx),dx
Então
du = dx, v = integral sin(nx),dx = -1ncos(nx)

Passo 3

Aplicando integração por partes no intervalo [0,pi]:
integral0^pi x sin(nx),dx = u,v |0^pi - integral0^pi v,du = l(-xncos(nx)r)|0^pi - integral0^pil(-1ncos(nx)r),dx

Passo 4

Avaliaremos cada termo separadamente:
  1. Termo de borda:
-xncos(nx)|0^pi = -pincos(npi) ;-; underbracel(-0ncos(0)r)=0 = -pincos(npi)
  1. Integral de cosseno:
-integral0^pil(-1ncos(nx)r),dx = 1nintegral0^picos(nx),dx = 1n[sin(nx)n]0^pi = 1n^2l(sin(npi)-sin(0)r) = 0

Passo 5

Somando os resultados, a integral original vale
-pincos(npi) + 0 = -pincos(npi),
que é justamente o que queríamos mostrar.

Resposta

integral0^pi x sin(nx),dx = -pincos(npi)

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