Quais das funções abaixo são soluções do laplaciano bidimensional onde
é um campo escalar?
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é solução da equação de Laplace bidimensional
O conteúdo envolvido é o operador Laplaciano em duas variáveis e a definição de função harmônica (ou seja, satisfazendo
).
Passo 2
Em coordenadas cartesianas bidimensionais, o Laplaciano de um campo escalar
é dado por
Passo 3
Vamos calcular cada derivada segunda de
:
- Derivada segunda em relação a
:
- Derivada segunda em relação a
:
Passo 4
Somando as duas derivadas segundas obtemos o Laplaciano:
Como o resultado é zero,
satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
é solução do laplaciano bidimensional, pois
.