Quais das funções abaixo são soluções do laplaciano bidimensional onde psi(x, y) é um campo escalar?
nabla^2 psi=0
psi=x^2-y^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
psi(x,y)=x^2-y^2
é solução da equação de Laplace bidimensional
nabla^2psi=0
O conteúdo envolvido é o operador Laplaciano em duas variáveis e a definição de função harmônica (ou seja, satisfazendo nabla^2psi=0).

Passo 2

Em coordenadas cartesianas bidimensionais, o Laplaciano de um campo escalar psi(x,y) é dado por
nabla^2psi =partial^2psipartial x^2 +partial^2psipartial y^2

Passo 3

Vamos calcular cada derivada segunda de psi(x,y)=x^2-y^2:
  1. Derivada segunda em relação a x:
partialpsipartial x =partialpartial x(x^2-y^2) =2x,
partial^2psipartial x^2 =partialpartial x(2x) =2
  1. Derivada segunda em relação a y:
partialpsipartial y =partialpartial y(x^2-y^2) =-2y,
partial^2psipartial y^2 =partialpartial y(-2y) =-2

Passo 4

Somando as duas derivadas segundas obtemos o Laplaciano:
nabla^2psi =partial^2psipartial x^2 +partial^2psipartial y^2 =2+(-2) =0
Como o resultado é zero, psi(x,y)=x^2-y^2 satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função psi(x,y)=x^2-y^2 é solução do laplaciano bidimensional, pois nabla^2psi=0.

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