Mostre que a soma
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2+x sumn=0^infty an x^n
onde n assume números inteiros positivos, pode ser reescrita como
2 a2 sumn=1^infty[(n+2)(n+1) an+2+an-1] x^n

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
sumn=2^inftyn(n-1)an,x^n-2 ;+; xsumn=0^inftyan,x^n
e pede para reescrevê-la como uma única soma indexada por n.
O conteúdo principal é manipulação de séries de potências e mudança de índice em somatórios.

Passo 2

Na primeira soma fazemos a mudança de índice
k = n-2,
logo n = k+2. Quando n vai de 2 até infty, k vai de 0 até infty. Substituindo em cada termo:
n(n-1)an,x^n-2 =(k+2)(k+1),ak+2,x^k
Portanto
sumn=2^inftyn(n-1)an,x^n-2 =sumk=0^infty(k+2)(k+1),ak+2,x^k

Passo 3

Na segunda soma temos
xsumn=0^inftyan,x^n =sumn=0^inftyan,x^n+1
Fazendo a mudança de índice
k = n+1,
então n=k-1 e, quando n vai de 0 até infty, k vai de 1 até infty. Assim
xsumn=0^inftyan,x^n =sumk=1^inftyak-1,x^k

Passo 4

Juntando as duas expressões obtidas:
sumk=0^infty(k+2)(k+1)ak+2,x^k ;+; sumk=1^inftyak-1,x^k

Passo 5

Separamos o termo de k=0 na primeira soma:
(k+2)(k+1)ak+2,x^k|k=0 =2cdot1,a2,x^0 =2a2
O restante (para k>=1) podemos reindexar chamando k=n. Assim obtemos
2a2 +sumn=1^inftyl[(n+2)(n+1)an+2+an-1r],x^n

Resposta

2a2 +sumn=1^inftyl[(n+2)(n+1)an+2+an-1r],x^n

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