Mostre que a soma
onde assume números inteiros positivos, pode ser reescrita como
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências
e pede para reescrevê-la como uma única soma indexada por .
O conteúdo principal é manipulação de séries de potências e mudança de índice em somatórios.
Passo 2
Na primeira soma fazemos a mudança de índice
logo . Quando vai de 2 até , vai de 0 até . Substituindo em cada termo:
Portanto
Passo 3
Na segunda soma temos
Fazendo a mudança de índice
então e, quando vai de 0 até , vai de 1 até . Assim
Passo 4
Juntando as duas expressões obtidas:
Passo 5
Separamos o termo de na primeira soma:
O restante (para k>=1) podemos reindexar chamando k=n. Assim obtemos