Calculc as integrais definidas ou indefinidas.
integral1^2 x cdot e^(-x^2+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^2 x,e^-x^2+1,dx
O conteúdo principal é o uso de substituição simples em integrais, aproveitando que a derivada de -x^2+1 é proporcional a x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = -x^2 + 1
Então
du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -tfrac12,du

Passo 3

Precisamos também trocar os limites de x para u:
quando x=1, u=-1^2+1=0;
quando x=2, u=-2^2+1=-3.
Assim a integral vira
integral1^2 x,e^-x^2+1,dx =integralu=0^u=-3 e^u,l(-tfrac12,dur) =-tfrac12integral0^-3e^u,du
Invertemos os limites para ficar mais usual:
-tfrac12integral0^-3e^u,du =tfrac12integral-3^0e^u,du

Passo 4

Agora integramos e^u:
integral e^u,du = e^u
Logo
tfrac12integral-3^0e^u,du =tfrac12l[e^ur]-3^0

Passo 5

Aplicando os limites:
tfrac12l(e^0-e^-3r) =tfrac12l(1-e^-3r)

Resposta

integral1^2 x,e^-x^2+1,dx =1 - e^-32

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