Determine a distância entre as retas r que tem equação paramétricas:
r:l x=2 t+1 y=3 t+2 z=5 t+1
e a reta s que tem equação paramétrica:
s:l x^prime=4 s+1 y^prime=2 s+2 z^prime=1 s+5

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas r e s no espaço tridimensional. Vamos usar o fato de que, para duas retas r e s com vetores diretores u e v e pontos Pin r, Qin s, a distância entre elas é
d = l|,( PQ ) cdot (utimesv)r||utimesv|

Passo 2

Escolhemos pontos correspondentes aos parâmetros nulos em cada reta:
P = r(0) = (1,2,1), Q = s(0) = (1,2,5)
Os vetores diretores são
u = (2,3,5), v = (4,2,1)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial utimesv:
utimesv = i&j&k 2&3&5 4&2&1 = (-7,,18,,-8)
Em seguida, sua norma:
|utimesv| = raiz(-7)^2 + 18^2 + (-8)^2 = raiz49 +324 +64 = raiz437

Passo 4

Formamos o vetor PQ=Q-P:
PQ = (1-1,,2-2,,5-1) = (0,0,4)
E calculamos o produto escalar com utimesv:
PQcdot(utimesv) = (0,0,4)cdot(-7,18,-8) = -32,
cujo valor absoluto é l| -32 r| = 32.

Passo 5

Aplicando a fórmula da distância entre retas:
d = 32raiz437

Resposta

A distância entre as retas é 32raiz437.

Exercícios relacionados