Determine os valores de a e b de modo que os planos x+2 y+z=b e 3 x-5 y+3 z=1 e 2 x+7 y+a z=8 se interceptem:
a) um ponto

Passo 1

O enunciado dá três planos em (x,y,z):
x + 2y + z = b, 3x - 5y + 3z = 1, 2x + 7y + a z = 8
Para que esses três planos se intersectem em exatamente um ponto, o sistema linear correspondente deve ter solução única. Na teoria de sistemas lineares, isso acontece exatamente quando o determinante da matriz de coeficientes é diferente de zero.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = 1 & 2 & 1 3 & -5 & 3 2 & 7 & a
Vamos calcular det(A) por expansão na primeira linha:
det(A) = 1cdot-5 & 37 & a -2cdot3 & 32 & a +1cdot3 & -52 & 7
Cada menor vale:
-5 & 37 & a =-5a - 21, 3 & 32 & a =3a - 6, 3 & -52 & 7 =21 + 10 = 31
Então
det(A) = ( -5a - 21) -2(3a - 6) +31 = -5a -21 -6a +12 +31 = -11a +22

Passo 3

Para ter solução única, exigimos det(A)neq0. Logo
-11a +22 neq 0 Longrightarrow a neq 2
Sempre que aneq2, o sistema tem exatamente uma solução qualquer que seja b.

Resposta

a neq 2 e b pode ser qualquer número real.

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