Ache una base do complemento ortogonal do espaço gerado por
v1=(1,2,3,1,3), v2=(1,3,4,3,6) v3=(2,2,4,3,5)

Passo 1

O enunciado pede uma base do complemento ortogonal de W=spanv1,v2,v3subsetR^5. Esse complemento é
W^perp=xinR^5mid xcdot vi=0,;i=1,2,3
Vamos montar o sistema linear que expressa essas três condições de ortogonalidade e resolver por eliminação de Gauss.

Passo 2

Seja x=(x1,x2,x3,x4,x5). As condições xcdot vi=0 dão o sistema
x1+2x2+3x3+x4+3x5=0, x1+3x2+4x3+3x4+6x5=0, 2x1+2x2+4x3+3x4+5x5=0

Passo 3

Escrevendo a matriz aumentada e fazendo operações elementares:
1 & 2 & 3 & 1 & 3 & 0 1 & 3 & 4 & 3 & 6 & 0 2 & 2 & 4 & 3 & 5 & 0 to 1 & 2 & 3 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & -2 & -2 & 1 & -1 & 0
to 1 & 2 & 3 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 5 & 5 & 0 to 1 & 2 & 3 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0

Passo 4

Dessa forma os pivôs estão em x1,x2,x4 e as variáveis livres são x3 e x5. Das equações temos:
x4+x5=0implies x4=-x5,
x2+x3+2x4+3x5=0implies x2=-x3-2(-x5)-3x5=-x3-x5,
x1+2x2+3x3+x4+3x5=0implies x1=-2x2-3x3-x4-3x5=-x3
Seja t=x3 e s=x5. Então
x1=-t, x2=-t-s, x3=t, x4=-s, x5=s

Passo 5

Escrevendo x=t(-1,-1,1,0,0)+s(0,-1,0,-1,1), concluímos que uma base de W^perp é
,(-1,-1,1,0,0),,(0,-1,0,-1,1)

Resposta

,(-1,-1,1,0,0),;(0,-1,0,-1,1)

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