Seja
um espaço vetorial. Prove que se
são subespaços vetoriais de
, então
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial sobre um corpo
e que, para cada
,
é subespaço vetorial de
. Queremos mostrar que
é também subespaço de
.
Lembrando o teste de subespaço, basta verificar três propriedades para
:
-
, isto é, contém o vetor zero. - Se
então . - Se
e então .
Passo 2
Mostrando que o zero está na interseção.
Como cada é subespaço de
, sabemos que o vetor nulo
de
pertence a cada
. Logo
Como cada
e, portanto,
Assim
.
Passo 3
Fechamento sob soma.
Sejam . Isso significa que para todo
temos
e
. Como cada
é subespaço, é fechado sob adição, logo
Sejam
Isto implica
ou seja,
é fechado sob soma.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja e
. Novamente,
para todo
, e como cada
é subespaço temos
Seja
Portanto
ou seja,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.