Seja V um espaço vetorial. Prove que se Wi, i=1, ldots, n são subespaços vetoriais de V, então capi=1^n Wi é um subespaço vetorial de V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial sobre um corpo K e que, para cada i=1,dots,n, Wi é subespaço vetorial de V. Queremos mostrar que
capi=1^n Wi
é também subespaço de V.
Lembrando o teste de subespaço, basta verificar três propriedades para U=capi=1^n Wi:
  1. Uneqemptyset, isto é, U contém o vetor zero.
  2. Se u,vin U então u+vin U.
  3. Se alphainK e uin U então alpha uin U.

Passo 2

Mostrando que o zero está na interseção.
Como cada Wi é subespaço de V, sabemos que o vetor nulo 0 de V pertence a cada Wi. Logo
0in Wipara todo i=1,dots,n
e, portanto,
0in capi=1^n Wi
Assim Uneqemptyset.

Passo 3

Fechamento sob soma.
Sejam u,vin capi=1^n Wi. Isso significa que para todo i temos uin Wi e vin Wi. Como cada Wi é subespaço, é fechado sob adição, logo
u+vin Wipara todo i
Isto implica
u+vin capi=1^n Wi,
ou seja, U é fechado sob soma.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar.
Seja alphainK e uin capi=1^n Wi. Novamente, uin Wi para todo i, e como cada Wi é subespaço temos
alpha uin Wipara todo i
Portanto
alpha uin capi=1^n Wi,
ou seja, U é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Como U=capi=1^n Wi contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que U é subespaço vetorial de V.

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