Classifique e determine o conjunto solução de cada sistema de equações lineares abaixo:
(b) x+y+z & =4 2 x+5 y-2 z & =3

Passo 1

O enunciado pede para classificar e resolver o sistema
x + y + z = 4, 2x + 5y - 2z = 3
Isso é um problema de sistemas lineares com mais incógnitas ( 3) do que equações ( 2), então podemos esperar variáveis livres e, em princípio, infinitas soluções. Vamos usar eliminação de Gauss para verificar consistência e encontrar a forma escalonada.

Passo 2

Construímos a matriz aumentada e aplicamos eliminação:
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 4 2 & 5 & -2 & 3 ]
Subtraindo 2times (linha 1) da linha 2, obtemos
[ccc|c 1 & 1 & 1 & 4 0 & 3 & -4 & -5 ]
Não surgem contradições (como 0=1), logo o sistema é compatível. Como o posto da matriz de coeficientes é 2 (menor que o número de incógnitas 3), temos sistema indeterminado, isto é, infinitas soluções.

Passo 3

Escolhemos z como variável livre, definindo z = t, com tinR.
Da segunda linha escalonada:
3y - 4t = -5 Longrightarrow y = 43,t - 53
Da primeira equação original:
x + y + t = 4 Longrightarrow x = 4 - y - t = 4 - l(43t - 53r) - t = 173 - 73,t

Passo 4

Reunindo, o conjunto-solução fica
l(x,y,z)inR^3 mid x = tfrac17 - 7t3,; y = tfrac4t - 53,; z = t,; tinRr

Resposta

O sistema é indeterminado (compatível com infinitas soluções) e
S = ll(tfrac17-7t3,,tfrac4t-53,,tr)mid tinRr

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