Verifique se o seguinte conjunto é um subespaço do R^3
(x1, x2, x3) in R^3 ; x1+x2+x3=0

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
W=(x1,x2,x3)inR^3mid x1+x2+x3=0
e pede para verificar se ele é subespaço vetorial de R^3. Para isso precisamos mostrar:
  • O vetor zero pertence a W.
  • W é fechado sob soma.
  • W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero (0,0,0) satisfaz
0+0+0=0,
logo (0,0,0)inW.

Passo 3

Tomemos u=(u1,u2,u3) e v=(v1,v2,v3) em W. Então
u1+u2+u3=0 e v1+v2+v3=0
A soma é u+v=(u1+v1,u2+v2,u3+v3) e
(u1+v1)+(u2+v2)+(u3+v3) =(u1+u2+u3)+(v1+v2+v3)=0+0=0,
portanto u+vinW.

Passo 4

Seja alphainR e u=(u1,u2,u3)inW. Temos
u1+u2+u3=0
O produto escalar é alphau=(alpha u1,alpha u2,alpha u3) e
alpha u1+alpha u2+alpha u3 =alpha(u1+u2+u3)=alphacdot 0=0,
logo alphauinW.

Passo 5

Como W contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço de R^3.

Resposta

O conjunto (x1,x2,x3)inR^3mid x1+x2+x3=0 é um subespaço de R^3.

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