Ache um valor aproximado para a integral dupla
onde
é o retângulo
e
. Tome uma partição de
formada pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre um valor aproximado para a integral dupla
onde
é o retângulo dado por
e
. Foi dada uma partição de
pelas retas
e
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
A tarefa é aproximar a integral usando essa partição (ou seja, somar contribuições nas sub-regiões definidas por essas linhas). Neste passo apenas listei o que foi pedido e os dados; não fiz nenhum cálculo ainda.
Passo 2
Escolha do método (por que e qual): como o enunciado não impõe um ponto amostral específico em cada subretângulo, vou usar a regra dos pontos médios (midpoint rule) para somar os valores da função avaliados nos centros de cada subretângulo multiplicados pela área do subretângulo. Motivos:
- É um método simples e padrão para aproximações por somas de Riemann em duas variáveis.
- Usa um único ponto por subretângulo (o centro), o que costuma dar uma boa aproximação.
- É fácil de aplicar com a partição dada (subretângulos com largura e altura simples).
Explicação do método (didática): para uma partição de
em subretângulos
, a soma de Riemann por pontos médios é
onde
é o ponto médio de
e
é a área do subretângulo. Aqui cada
será fácil de calcular (largura
altura).
Passo 3
Determinar os subretângulos, suas larguras/alturas, áreas e pontos médios.\n
Dividindo os intervalos:
Dividindo os intervalos:
Logo temos
subretângulos, cada um com área
Agora os pontos médios. Para
os pontos médios são:
Para
os pontos médios são:
Assim os 6 pontos médios são as combinações:
Passo 4
Avaliar a função
em cada ponto médio. Vou calcular devagar, mostrando cada conta.\n
Primeiro, para temos
.
Primeiro, para
Agora, para
temos
.
Passo 5
Construir a soma de Riemann por pontos médios e calcular a aproximação.\n
Cada subretângulo contribui com . Como
para todos, basta somar os valores obtidos:
Cada subretângulo contribui com
Portanto a aproximação da integral dupla pelo método dos pontos médios com a partição dada é
.
Passo 6
Verificação (opcional, útil para entender o erro): calcular a integral exata por integrais iteradas e comparar.\n
Calculemos exatamente
Calculemos exatamente
Primeiro a integral em
:
Avalia de
a
:
Agora integramos em
:
Avalia:
Logo o valor exato é
. Nossa aproximação por pontos médios deu
, ou seja, erro de
(aproximadamente
). Isso mostra que a regra do ponto médio com esta partição forneceu uma aproximação razoavelmente boa.