Ache um valor aproximado para a integral dupla \iint_{R}\left(3 y-x^{2}\right) d A onde R é o retângulo -1 \leq x \leq 2 e 1 \leq y \leq 3. Tome uma partição de R formada pelas retas x=0, x=1 e y=2.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre um valor aproximado para a integral dupla
\iint_{R}\left(3y - x^{2}\right)\,dA
onde R é o retângulo dado por -1 \le x \le 2 e 1 \le y \le 3. Foi dada uma partição de R pelas retas x=0,\; x=1 e y=2.\n
Informações relevantes fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Região }R:\quad x\in[-1,2],\; y\in[1,3].\\\ &\text{Linhas de partição em }x:\; x=-1,\;x=0,\;x=1,\;x=2.\\\ &\text{Linhas de partição em }y:\; y=1,\;y=2,\;y=3. \end{aligned}ãçãçã
A tarefa é aproximar a integral usando essa partição (ou seja, somar contribuições nas sub-regiões definidas por essas linhas). Neste passo apenas listei o que foi pedido e os dados; não fiz nenhum cálculo ainda.

Passo 2

Escolha do método (por que e qual): como o enunciado não impõe um ponto amostral específico em cada subretângulo, vou usar a regra dos pontos médios (midpoint rule) para somar os valores da função avaliados nos centros de cada subretângulo multiplicados pela área do subretângulo. Motivos:
  • É um método simples e padrão para aproximações por somas de Riemann em duas variáveis.
  • Usa um único ponto por subretângulo (o centro), o que costuma dar uma boa aproximação.
  • É fácil de aplicar com a partição dada (subretângulos com largura e altura simples).
Explicação do método (didática): para uma partição de R em subretângulos R_{ij}, a soma de Riemann por pontos médios é
\sum_{i,j} f(x_{ij}^*,y_{ij}^*) \,\Delta A_{ij},
onde (x_{ij}^*,y_{ij}^*) é o ponto médio de R_{ij} e \Delta A_{ij} é a área do subretângulo. Aqui cada \Delta A_{ij} será fácil de calcular (largura \times altura).

Passo 3

Determinar os subretângulos, suas larguras/alturas, áreas e pontos médios.\n
Dividindo os intervalos:
x\text{-intervalos: }[-1,0],\;[0,1],\;[1,2]\quad\text{(cada um com largura } \Delta x = 1\text{)}.
y\text{-intervalos: }[1,2],\;[2,3]\quad\text{(cada um com altura } \Delta y = 1\text{)}.
Logo temos 3\times 2 = 6 subretângulos, cada um com área
\Delta A = \Delta x\cdot\Delta y = 1\cdot 1 = 1.
Agora os pontos médios. Para x os pontos médios são:
x\in\{-0,5,\;0,5,\;1,5\}.
Para y os pontos médios são:
y\in\{1,5,\;2,5\}.
Assim os 6 pontos médios são as combinações:
(-0,5,\,1,5),\;(0,5,\,1,5),\;(1,5,\,1,5),\;(-0,5,\,2,5),\;(0,5,\,2,5),\;(1,5,\,2,5).

Passo 4

Avaliar a função f(x,y)=3y-x^{2} em cada ponto médio. Vou calcular devagar, mostrando cada conta.\n
Primeiro, para y=1,5 temos 3y = 3\cdot 1,5 = 4,5.
\begin{aligned} f(-0,5,\,1,5) &= 4,5 - (-0,5)^{2} = 4,5 - 0,25 = 4,25,\\\ f(0,5,\,1,5) &= 4,5 - (0,5)^{2} = 4,5 - 0,25 = 4,25,\\\ f(1,5,\,1,5) &= 4,5 - (1,5)^{2} = 4,5 - 2,25 = 2,25. \end{aligned}
Agora, para y=2,5 temos 3y = 3\cdot 2,5 = 7,5.
\begin{aligned} f(-0,5,\,2,5) &= 7,5 - (-0,5)^{2} = 7,5 - 0,25 = 7,25,\\\ f(0,5,\,2,5) &= 7,5 - (0,5)^{2} = 7,5 - 0,25 = 7,25,\\\ f(1,5,\,2,5) &= 7,5 - (1,5)^{2} = 7,5 - 2,25 = 5,25. \end{aligned}

Passo 5

Construir a soma de Riemann por pontos médios e calcular a aproximação.\n
Cada subretângulo contribui com f(\text{ponto médio})\cdot \Delta Aé. Como \Delta A=1 para todos, basta somar os valores obtidos:
\begin{aligned} \text{Soma} &= 4,25 + 4,25 + 2,25 + 7,25 + 7,25 + 5,25\\\ &= (4,25+4,25+2,25) + (7,25+7,25+5,25)\\\ &= 10,75 + 19,75 = 30,5. \end{aligned}
Portanto a aproximação da integral dupla pelo método dos pontos médios com a partição dada é 30,5.

Passo 6

Verificação (opcional, útil para entender o erro): calcular a integral exata por integrais iteradas e comparar.\n
Calculemos exatamente
\iint_{R}(3y-x^{2})\,dA = \int_{x=-1}^{2}\int_{y=1}^{3}(3y-x^{2})\,dy\,dx.
Primeiro a integral em y:
\int (3y-x^{2})\,dy = \frac{3}{2}y^{2} - x^{2}y.
Avalia de y=1 a y=3:
\left[\frac{3}{2}y^{2}-x^{2}y\right]_{1}^{3} = \left(\frac{27}{2}-3x^{2}\right)-\left(\frac{3}{2}-x^{2}\right) = 12 - 2x^{2}.
Agora integramos em x:
\int_{-1}^{2}(12-2x^{2})\,dx = \left[12x - \frac{2}{3}x^{3}\right]_{-1}^{2}.
Avalia:
\left(24 - \frac{16}{3}\right) - \left(-12 + \frac{2}{3}\right) = \frac{56}{3} - \left(-\frac{34}{3}\right) = \frac{90}{3} = 30.
Logo o valor exato é 30. Nossa aproximação por pontos médios deu 30,5, ou seja, erro de 0,5 (aproximadamente 1{,}67\%). Isso mostra que a regra do ponto médio com esta partição forneceu uma aproximação razoavelmente boa.

Resposta

30,5

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