Ache o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada, no intervalo fechado dado. Faça um esboço do gráfico no intervalo.
f(x)=x^{4}-10 x^{2}+25, no intervalo [-3,3]

Passo 1

O enunciado pede os extremos absolutos de \,f(x)=x^{4}-10x^{2}+25\ no intervalo fechado [-3,3] e um esboço do gráfico. O conteúdo aqui é cálculo de extrema em intervalo fechado, que envolve achar pontos críticos via derivada e comparar valores nos extremos do intervalo e nesses pontos.

Passo 2

Calculemos a derivada de \,f:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}-10x^{2}+25\bigr) =4x^{3}-20x =4x\bigl(x^{2}-5\bigr).
Para pontos críticos, resolvemos f'(x)=0, ou seja
4x\,(x^{2}-5)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\quad x=\pm\sqrt{5}.
Todos esses estão dentro de [-3,3].

Passo 3

Avaliamo-s f em todos os candidatos a extremo:
\begin{aligned} f(0)&=0^{4}-10\cdot0^{2}+25=25,\\\ f(\pm\sqrt{5})&=(\sqrt{5})^{4}-10(\sqrt{5})^{2}+25 =25-50+25=0,\\\ f(\pm3)&=3^{4}-10\cdot3^{2}+25 =81-90+25=16. \end{aligned}

Passo 4

Comparando os valores:
f(\pm\sqrt{5})=0,\quad f(\pm3)=16,\quad f(0)=25.
O valor mínimo absoluto é 0 em x=\pm\sqrt{5} e o valor máximo absoluto é 25 em x=0.

Passo 5

Esboço do gráfico em [-3,3]: é uma curva simétrica em relação ao eixo y, com um pico em (0,25), dois vales em \bigl(\pm\sqrt{5},0\bigr) e nos extremos (\pm3,16). Começa em f(-3)=16, sobe até 25 em x=0, desce até 0 em \pm\sqrt{5} e volta a subir até 16 em x=3.

Resposta

Valor mínimo absoluto: 0 em x=\pm\sqrt{5}.
Valor máximo absoluto: 25 em x=0.

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