Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(e^{x}+x\right)^{2 / x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(e^{x}+x\bigr)^{2/x}.
O conteúdo envolvido é limite de função com expoente variável. Para esse tipo de limite, uma boa estratégia é usar logaritmo natural para transformar potência em produto.

Passo 2

Defina
y = \bigl(e^{x}+x\bigr)^{2/x}.
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados, fica
\ln y = \frac{2}{x}\,\ln\bigl(e^{x}+x\bigr).

Passo 3

Observe que, para x\to+\infty, e^{x} domina x. Então
\ln\bigl(e^{x}+x\bigr) = \ln\!\Bigl(e^{x}\bigl(1 + x\,e^{-x}\bigr)\Bigr) = \ln\bigl(e^{x}\bigr) + \ln\bigl(1 + x\,e^{-x}\bigr) = x + \ln\bigl(1 + x\,e^{-x}\bigr).
Como x\,e^{-x}\to0, temos \ln(1 + x\,e^{-x})\to0. Logo
\ln\bigl(e^{x}+x\bigr) = x + o(1).

Passo 4

Substituindo em \ln y:
\ln y = \frac{2}{x}\bigl(x + o(1)\bigr) = 2 + o(1).
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\ln y = 2.

Passo 5

Como y>0, aplicamos exponencial para voltar de \ln y a y:
\lim_{x\to+\infty}y = \exp\!\bigl(\lim_{x\to+\infty}\ln y\bigr) = e^{2}.

Resposta

e^{2}

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