Calcule os seguintes limites e em cada passo indique a indeterminada correspondente:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\ln (\operatorname{Sec}(x))}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\ln\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)}.
Trata-se de um limite que, ao substituir x=0, dá uma indeterminação do tipo 0/0, então vamos usar a Regra de L’Hôpital, que diz que nesses casos podemos tomar derivadas de numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a indeterminação inicial: \lim_{x\to0}x^2=0 e \lim_{x\to0}\ln\bigl(\operatorname{sec}(x)\bigr)=\ln(1)=0.
Portanto temos 0/0.

Passo 3

Aplicando L’Hôpital uma vez, derivamos numerador e denominador:
Numerador: \frac{d}{dx}(x^2)=2x.
Denominador:
\frac{d}{dx}\ln\bigl(\operatorname{sec} x\bigr) =\frac{(\operatorname{sec} x)'}{\operatorname{sec} x} =\frac{\operatorname{sec} x\,\tan x}{\operatorname{sec} x} =\tan x.
Logo o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{x^2}{\ln(\operatorname{sec} x)} =\lim_{x\to0}\frac{2x}{\tan x}.

Passo 4

No novo quociente ainda há indeterminação 0/0 pois \lim_{x\to0}2x=0 e \lim_{x\to0}\tan x=0. Aplicamos L’Hôpital de novo: \frac{d}{dx}(2x)=2, \frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x.
Então
\lim_{x\to0}\frac{2x}{\tan x} =\lim_{x\to0}\frac{2}{\operatorname{sec}^2 x} =\frac{2}{\operatorname{sec}^2(0)} =\frac{2}{1} =2.

Resposta

2

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