Calcule os seguintes limites e em cada passo indique a indeterminada correspondente:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-1\right)^{2}}{x \cdot \operatorname{Sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0}\frac{(e^x-1)^2}{x\,\sin x}.
Este é um problema de limite de quociente que apresenta indeterminação do tipo 0/0. Vamos usar os limites fundamentais \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1 e \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada na expressão original:
numerador (e^0-1)^2=0 e denominador 0\cdot\sin(0)=0.
Logo, a forma é 0/0.

Passo 3

Reescrevemos para isolar fatores com limites conhecidos:
\frac{(e^x-1)^2}{x\,\sin x} =\frac{e^x-1}{x}\;\cdot\;\frac{e^x-1}{\sin x}.
Em cada um desses dois fatores surge a indeterminação 0/0.

Passo 4

Calculamos separadamente cada limite:
  1. Para o primeiro fator, pela definição do exponencial,
\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1.
  1. Para o segundo fator, escrevemos
\frac{e^x-1}{\sin x} =\frac{e^x-1}{x}\;\cdot\;\frac{x}{\sin x}.
Cada razão é 0/0, e sabemos que \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1 e \lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}=1,
logo
\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{\sin x}=1.

Passo 5

Como ambos os fatores tendem a 1, o produto tende a 1\cdot1=1.

Resposta

1

Exercícios relacionados