Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0+} x^{\frac{2}{2+\ln (x)}}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0+} x^{\frac{2}{2+\ln(x)}}
Este é um tipo indeterminado 0^0. Para lidar com expoentes variáveis, vamos usar a transformação logarítmica.

Passo 2

Defina
y = x^{\frac{2}{2+\ln(x)}}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados, obtemos
\ln(y) = \frac{2}{2+\ln(x)}\,\ln(x).

Passo 3

Observe que
\ln(y) =2\,\frac{\ln(x)}{\ln(x)+2} =2\cdot\frac{1}{1+\tfrac{2}{\ln(x)}}.
Quando x\to0+, temos \ln(x)\to -\infty e, portanto, \tfrac{2}{\ln(x)}\to0. Logo
\lim_{x\to0+}\ln(y) =2\cdot\frac{1}{1+0} =2.

Passo 4

Se \ln(y)\to2, então y\to e^2.

Resposta

\lim_{x\to0+} x^{\frac{2}{2+\ln(x)}} = e^2.

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