A eficácia do tratamento de uma doença depende da combinação de dois medicamentos A e B . A duração, em dias, do tratamento pode ser modelada pode ser modelada pela função
f(x, y)=-x^{2}-3 y^{2}+2 x y+8 x-17
onde x é a dose em mg de A e y é a dose em mg de B. Para que doses de A e B a eficácia do tratamento é máxima? Qual é essa duração?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y) = -x^{2} - 3y^{2} + 2xy + 8x - 17
onde x é a dose em mg do medicamento A e y é a dose em mg do medicamento B. Pergunta-se:
\text{(1) Para que doses de \(A\) e \(B\) a eficácia (ou seja, a duração) é máxima?}áçãéá
\text{(2) Qual é essa duração máxima (em dias)?}éçãá
As informações relevantes são exatamente a expressão de f(x,y) e que x,y representam doses (valores reais, sem mais restrição explicitada).

Passo 2

Vamos procurar pontos críticos de f, que são candidatos a máximo ou mínimo. Um ponto crítico em duas variáveis ocorre onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são zero simultaneamente. Vou explicar o que são essas derivadas e como resolver o sistema resultante.

Passo 3

Derivadas parciais: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x}, trata y como constante e diferencia em relação a x. Analogamente para \frac{\partial f}{\partial y}. Calculamos:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x^{2} - 3y^{2} + 2xy + 8x - 17\bigr).
Derivando termo a termo (pela regra básica \frac{d}{dx}x^{2}=2x, \frac{d}{dx}(ax)=a, e tratando y como constante):
\frac{\partial f}{\partial x} = -2x + 2y + 8.
Agora em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x^{2} - 3y^{2} + 2xy + 8x - 17\bigr) = -6y + 2x.
Ponto crítico: resolver o sistema
\begin{cases} -2x + 2y + 8 = 0,\\[4pt] -6y + 2x = 0. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema passo a passo. Primeiro simplifico dividindo por 2\) quando conveniente: \[\begin{cases} -x + y + 4 = 0,\\[4pt] x - 3y = 0. \end{cases}
Da segunda equação temos
x = 3y.
Substituo na primeira:
-(3y) + y + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad -3y + y + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad -2y + 4 = 0.
Daí
-2y + 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 2.
E então
x = 3y = 3\cdot 2 = 6.
Logo o ponto crítico é ((x,y) = (6,2)].]

Passo 5

Agora precisamos saber se esse ponto crítico é máximo, mínimo ou ponto de sela. Para isso usamos a matriz Hessiana (matriz das segundas derivadas):
H_f(x,y) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix}.
Calculando as segundas derivadas a partir de \frac{\partial f}{\partial x} = -2x + 2y + 8 e \frac{\partial f}{\partial y} = -6y + 2x:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = -2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} = 2,\qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} = -6.
Assim a Hessiana é
H_f = \begin{pmatrix}-2 & 2 \\[4pt] 2 & -6 \end{pmatrix}.
Para concluir que o ponto crítico é um máximo local (e aqui será global porque a forma quadrática principal é negativa definida), verificamos que H_f é negativa definida. Um critério simples em 2\times2: se o primeiro menor principal (ou seja, o elemento \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}) é negativo e o determinante de H_f é positivo, então H_f é negativa definida. Calculamos:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = -2 < 0,
\det(H_f) = (-2)(-6) - 2\cdot 2 = 12 - 4 = 8 > 0.
Como o menor principal é negativo e o determinante é positivo, H_f é negativa definida. Portanto o ponto crítico (6,2) é um ponto de máximo (no caso de polinômio quadrático com termos principais negativos, é o máximo global).]

Passo 6

Calculo agora a duração máxima substituindo (x,y)=(6,2) em f. Substituo passo a passo:
f(6,2) = -(6)^{2} - 3(2)^{2} + 2\cdot 6\cdot 2 + 8\cdot 6 - 17.
Calculo cada termo:
-(6)^{2} = -36,\quad -3(2)^{2} = -3\cdot 4 = -12,\quad 2\cdot 6\cdot 2 = 24,\quad 8\cdot 6 = 48.
Somando:
-36 -12 + 24 + 48 -17.
Agrupando em etapas:
-36 -12 = -48,
-48 + 24 = -24,
-24 + 48 = 24,
24 - 17 = 7.
Portanto a duração máxima é 7 dias.

Resposta

Dose de A: x=6 mg
Dose de B: y=2 mg
Duração máxima: 7 dias

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