A eficácia do tratamento de uma doença depende da combinação de dois medicamentos A e B . A duração, em dias, do tratamento pode ser modelada pode ser modelada pela função
f(x, y)=-x^{2}-3 y^{2}+2 x y+8 x-17
onde x é a dose em mg de A e y é a dose em mg de B. Para que doses de A e B a eficácia do tratamento é máxima? Qual é essa duração?
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x,y) = -x^{2} - 3y^{2} + 2xy + 8x - 17
onde x é a dose em mg do medicamento A e y é a dose em mg do medicamento B. Pergunta-se:
\text{(1) Para que doses de \(A\) e \(B\) a eficácia (ou seja, a duração) é máxima?}
\text{(2) Qual é essa duração máxima (em dias)?}
As informações relevantes são exatamente a expressão de f(x,y) e que x,y representam doses (valores reais, sem mais restrição explicitada).
Passo 2
Vamos procurar pontos críticos de f, que são candidatos a máximo ou mínimo. Um ponto crítico em duas variáveis ocorre onde as derivadas parciais de f em relação a x e y são zero simultaneamente. Vou explicar o que são essas derivadas e como resolver o sistema resultante.
Passo 3
Derivadas parciais: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \frac{\partial f}{\partial x}, trata y como constante e diferencia em relação a x. Analogamente para \frac{\partial f}{\partial y}. Calculamos:
Resolvendo o sistema passo a passo. Primeiro simplifico dividindo por 2\) quando conveniente:
\[\begin{cases} -x + y + 4 = 0,\\[4pt] x - 3y = 0. \end{cases}
Para concluir que o ponto crítico é um máximo local (e aqui será global porque a forma quadrática principal é negativa definida), verificamos que H_f é negativa definida. Um critério simples em 2\times2: se o primeiro menor principal (ou seja, o elemento \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}) é negativo e o determinante de H_f é positivo, então H_f é negativa definida. Calculamos:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} = -2 < 0,
\det(H_f) = (-2)(-6) - 2\cdot 2 = 12 - 4 = 8 > 0.
Como o menor principal é negativo e o determinante é positivo, H_f é negativa definida. Portanto o ponto crítico (6,2) é um ponto de máximo (no caso de polinômio quadrático com termos principais negativos, é o máximo global).]
Passo 6
Calculo agora a duração máxima substituindo (x,y)=(6,2) em f. Substituo passo a passo: