Uma combinação de dois medicamentos está sendo testada no combate a certa infecção. Os estudos mostraram que a duração (em dias) da infecção em testes de laboratório pode ser modelada pela função f(x, y)=x y+\frac{4}{x}+\frac{2}{y} onde x é a dose em m g do primeiro medicamento e y é a dose em mg do segundo medicamento. Determine a dose de cada medicamento para que a duração da infecção seja mínima e a duração correspondente.

Passo 1

O enunciado fornece a função de duração da infecção
f(x,y)=x y+\frac{4}{x}+\frac{2}{y}
onde x é a dose (em mg) do primeiro medicamento e y é a dose (em mg) do segundo medicamento. Pede-se: determinar as doses x e y que tornam a duração da infecção mínima e informar essa duração mínima. Consideramos implicitamente que as doses são positivas, isto é, x>0 e y>0.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples e passo a passo): para encontrar extremos de uma função de duas variáveis nós calculamos as derivadas parciais em relação a x e a y, igualamos a zero para achar pontos críticos, e então usamos o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana) para verificar se o ponto crítico é mínimo. Vou explicar cada conceito conforme for usando.

Passo 3

O que é derivada parcial? A derivada parcial de f em relação a x é a taxa de variação de f quando só x muda e y fica fixo. Para calcular, tratamos y como constante e diferenciamos termo a termo. Usando a regra da potência para expoentes negativos:
\frac{\partial f}{\partial x}=y-4x^{-2}.
De modo análogo, a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante) é
\frac{\partial f}{\partial y}=x-2y^{-2}.
Expliquei: a derivada de xy em relação a x é y; a derivada de 4/x é -4x^{-2}; e a derivada de 2/y em relação a y é -2y^{-2}.

Passo 4

Agora procuramos pontos críticos resolvendo o sistema
\begin{cases} \displaystyle y-4x^{-2}=0,\\[6pt] \displaystyle x-2y^{-2}=0. \end{cases}
Das equações extraímos:
y=\frac{4}{x^{2}} \qquad\text{e}\qquad x=\frac{2}{y^{2}}.
Isto é, elas relacionam x e y.]

Passo 5

Vamos resolver o sistema por substituição. Substituo x=\dfrac{2}{y^{2}} na expressão y=\dfrac{4}{x^{2}}:
y=\frac{4}{\left(\dfrac{2}{y^{2}}\right)^{2}}.
Calculo o denominador: \left(\dfrac{2}{y^{2}}\right)^{2}=\dfrac{4}{y^{4}}. Então
y=\frac{4}{\dfrac{4}{y^{4}}}=y^{4}.
Assim obtemos y^{4}-y=0, ou seja y(y^{3}-1)=0. Como y>0 (dose positiva), não podemos ter y=0, então deve valer y^{3}=1, logo
y=1.
Com y=1 voltamos a x=\dfrac{2}{y^{2}} e obtemos
x=\frac{2}{1^{2}}=2.
Portanto o ponto crítico é (x,y)=(2,1) (isto é, x=2 mg e y=1 mg).

Passo 6

Agora precisamos verificar que esse ponto crítico é um mínimo. Para isso usamos as segundas derivadas. As segundas derivadas (usando regra da potência) são:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=8x^{-3}=\frac{8}{x^{3}}, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=4y^{-3}=\frac{4}{y^{3}}, \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=1.
A matriz Hessiana é
H(x,y)=\begin{pmatrix} \displaystyle \frac{8}{x^{3}} & 1\\[6pt] 1 & \displaystyle \frac{4}{y^{3}} \end{pmatrix}.
No ponto (2,1) temos
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(2,1)=\frac{8}{2^{3}}=\frac{8}{8}=1, \quad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}(2,1)=\frac{4}{1^{3}}=4, \quad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}(2,1)=1.
O determinante da Hessiana em (2,1) é
\det H(2,1)=1\cdot 4 - 1\cdot 1 = 3>0,
e além disso \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}(2,1)=1>0. Pelo teste das segundas derivadas para funções de duas variáveis, isso garante que (2,1) é um mínimo local.]

Passo 7

Para concluir que é mínimo global, basta observar o comportamento da função nas fronteiras do domínio positivo: quando x\to 0^{+} o termo \dfrac{4}{x}\to +\infty; quando y\to 0^{+} o termo \dfrac{2}{y}\to +\infty; e quando x ou y tendem a +\infty o termo xy\to +\infty. Assim f(x,y)\to+\infty nas extremidades relevantes, então não há outro ponto com valor menor que o mínimo local encontrado — logo o mínimo local em (2,1) é também mínimo global.

Passo 8

Calculamos a duração mínima avaliando f em (2,1):
f(2,1)=2\cdot 1+\frac{4}{2}+\frac{2}{1}=2+2+2=6.

Resposta

Dose do primeiro medicamento: x=2 mg
Dose do segundo medicamento: y=1 mg
Duração mínima da infecção: 6 dias

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