Calcule as integrais abaixo:
\iint_{R} x^{3} \operatorname{sen}\left(y^{3}\right) d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 1, x^{2} \leq y \leq 1\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} x^{3}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dA,
onde
R = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \le x \le 1,\; x^2 \le y \le 1\}.
O conteúdo principal aqui é troca de ordem de integração e, depois, uma substituição simples em uma integral de uma variável.

Passo 2

Escrevendo a região na ordem dada, temos
\iint_{R} x^{3}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^{2}}^{1} x^{3}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 3

Para facilitar, trocamos a ordem de integração. Note que R é o conjunto dos pontos entre a parábola y=x^2 e a reta y=1, com x\ge0. Então, para cada y\in[0,1], x varia de 0 a \sqrt{y}. Assim
\iint_{R} x^{3}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dA =\int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{\sqrt{y}} x^{3}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 4

Dentro temos \sin(y^3) que não depende de x, então
\int_{x=0}^{\sqrt{y}} x^{3}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dx =\sin\bigl(y^{3}\bigr)\int_{0}^{\sqrt{y}} x^{3}\,dx =\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,\frac{(\sqrt{y})^{4}}{4} =\frac{y^{2}}{4}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr).
Logo a integral fica
\int_{y=0}^{1} \frac{y^{2}}{4}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dy.

Passo 5

Fazemos a substituição u=y^{3}, daí du=3y^{2}\,dy ou y^{2}\,dy=du/3. Os limites em y de 0 a 1 viram limites em u de 0 a 1. Assim
\int_{0}^{1} \frac{y^{2}}{4}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dy =\frac{1}{4}\int_{0}^{1}\sin(u)\,\frac{du}{3} =\frac{1}{12}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du =\frac{1}{12}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{12}\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Resposta

\iint_{R} x^{3}\,\sin\bigl(y^{3}\bigr)\,dA =\frac{1-\cos(1)}{12}.

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