Ache um valor mínimo relativo da função
para a qual
com o vínculo (a)
; (b)
; (c)
.
Passo 1
Beleza, vamos encontrar o valor mínimo relativo da função
com a restrição
. A gente vai usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, definimos a função de Lagrange:
Aqui,
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 3
Agora, derivamos
em relação a
,
,
e
e igualamos a zero:
Passo 4
Da equação (1):
Da equação (2):
Da equação (3):
Igualando as expressões para
:
Passo 5
Agora temos que
e
. Então:
Substituindo na restrição
:
Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor mínimo relativo da mesma função
com a restrição
. Como temos menos restrições, o processo fica um pouco diferente.
Passo 7
Usaremos novamente os multiplicadores de Lagrange. Definimos:
Passo 8
Derivamos
em relação a
,
,
e
:
Passo 9
Da equação (3):
Das equações (1) e (2):
Dividindo as duas equações:
Passo 10
Usando a restrição
e
:
Então:
E
.
Passo 11
Finalmente, vamos encontrar o valor mínimo relativo da função
com a restrição
. Aqui, a restrição é direta para
.
Passo 12
Como
, substituímos na função:
Precisamos minimizar
.
Passo 13
Percebemos que
e
são sempre positivos, então o mínimo ocorre quando ambos são zero:
Então,
.
Resposta
a) Valor mínimo: 12 em
b) Valor mínimo: 4 em
c) Valor mínimo: 1 em