Ache um valor mínimo relativo da função f para a qual f(x, y, z)=x^2+4 y^2+16 z^2 com o vínculo (a) x y z=1; (b) x y=1; (c) x=1.

Passo 1

Beleza, vamos encontrar o valor mínimo relativo da função f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + 16z^2 com a restrição xyz = 1 . A gente vai usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a otimizar funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, definimos a função de Lagrange:
L(x, y, z, lambda) = x^2 + 4y^2 + 16z^2 - lambda (xyz - 1)
Aqui, lambda é o multiplicador de Lagrange.

Passo 3

Agora, derivamos L em relação a x, y, z e lambda e igualamos a zero:
partial Lpartial x = 2x - lambda yz = 0 (1)
partial Lpartial y = 8y - lambda xz = 0 (2)
partial Lpartial z = 32z - lambda xy = 0 (3)
partial Lpartial lambda = xyz - 1 = 0 (4)

Passo 4

Da equação (1): lambda = 2xyz
Da equação (2): lambda = 8yxz
Da equação (3): lambda = 32zxy
Igualando as expressões para lambda:
2xyz = 8yxz implies 2x^2z = 8y^2z implies x^2 = 4y^2 implies x = 2y
8yxz = 32zxy implies 8y cdot xy = 32z cdot xz implies 8y^2 = 32z^2 implies y^2 = 4z^2 implies y = 2z

Passo 5

Agora temos que x = 2y e y = 2z . Então:
x = 2(2z) = 4z
Substituindo na restrição xyz = 1 :
(4z)(2z)(z) = 8z^3 = 1 implies z^3 = 18 implies z = 12
Então:
y = 2z = 2 times 12 = 1
x = 4z = 4 times 12 = 2

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor mínimo relativo da mesma função f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + 16z^2 com a restrição xy = 1 . Como temos menos restrições, o processo fica um pouco diferente.

Passo 7

Usaremos novamente os multiplicadores de Lagrange. Definimos:
L(x, y, z, lambda) = x^2 + 4y^2 + 16z^2 - lambda (xy - 1)

Passo 8

Derivamos L em relação a x, y, z e lambda:
partial Lpartial x = 2x - lambda y = 0 (1)
partial Lpartial y = 8y - lambda x = 0 (2)
partial Lpartial z = 32z = 0 (3)
partial Lpartial lambda = xy - 1 = 0 (4)

Passo 9

Da equação (3): 32z = 0 implies z = 0
Das equações (1) e (2):
2x = lambda y e 8y = lambda x
Dividindo as duas equações:
2x8y = lambda ylambda x implies x4y = yx implies x^2 = 4y^2 implies x = 2y

Passo 10

Usando a restrição xy = 1 e x = 2y :
(2y)y = 2y^2 = 1 implies y^2 = 12 implies y = 1raiz2
Então:
x = 2y = 2raiz2 = raiz2
E z = 0 .

Passo 11

Finalmente, vamos encontrar o valor mínimo relativo da função f(x, y, z) = x^2 + 4y^2 + 16z^2 com a restrição x = 1 . Aqui, a restrição é direta para x.

Passo 12

Como x = 1 , substituímos na função:
f(1, y, z) = 1^2 + 4y^2 + 16z^2 = 1 + 4y^2 + 16z^2
Precisamos minimizar 4y^2 + 16z^2 .

Passo 13

Percebemos que 4y^2 e 16z^2 são sempre positivos, então o mínimo ocorre quando ambos são zero:
y = 0 e z = 0
Então, f(1, 0, 0) = 1 + 0 + 0 = 1 .

Resposta

a) Valor mínimo: 12 em (2,1,12)
b) Valor mínimo: 4 em (raiz2, 1raiz2, 0)
c) Valor mínimo: 1 em (1,0,0)

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